Где появились отрицательные числа. Пусть время ваших перемен работает на вас
Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд «Начала», мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в -300 году нашей эры». А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (от debtor - «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.
Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчета и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить.
Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают еще три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 - 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаем одну, у нас остается еще одна. Но что значит 2 - 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я все же могу это сделать - тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба. Это, скорее, ее отсутствие, причем такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.
Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин - правда, в определенной степени. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в черный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Как показано ниже, китайцы размещали палочки на разграфленной доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из черных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось.
Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин. Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы.
Китайцы раскладывали бамбуковые палочки на разграфленной доске; обычные палочки символизировали положительные числа, черные - отрицательные, что позволяло записывать и решать уравнения
Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст - деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий - отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму.
Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввел число ноль в его современном понимании.
Долг минус ноль -
это долг.
Имущество минус ноль - это имущество.
Ноль минус ноль - это ноль.
Долг, вычтенный из нуля, - это имущество.
Имущество, вычтенное из нуля, - это долг.
И так далее.
Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время.
Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века - и в Испании. Тем не менее понадобилось еще три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе.
Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.
Со временем счетоводы привыкли к использованию отрицательных чисел в своей профессии, математики же очень долго остерегались их. В XV и XVI веках отрицательные величины были известны как абсурдные числа (numeri absurdi) , и даже в XVII столетии многие считали их бессмысленными. В XVIII веке преобладал следующий аргумент против отрицательных чисел . Рассмотрим такое уравнение:
С арифметической точки зрения это правильное утверждение. Тем не менее оно парадоксально, поскольку гласит, что отношение меньшего числа (-1) к большему (1) эквивалентно отношению большего числа (1) к меньшему (-1). Этот парадокс стал предметом множества дискуссий, но никто так и не смог его объяснить. В попытках понять смысл отрицательных чисел многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пришли к невероятному выводу, что эти числа больше бесконечности . Данная концепция вытекает из анализа такой последовательности:
10/3, 10/2, 10/1, 10/(1/2)
Что эквивалентно ряду:
По мере уменьшения числа в нижней части дроби (знаменателя) от 3 до 2, а затем до 1 и 1/2, абсолютное значение дроби становится больше, а когда значения знаменателя приближается к нулю, значение дроби стремится к бесконечности. Была выдвинута гипотеза, что, когда знаменатель равен нулю, значение дроби бесконечно, а когда он меньше нуля (другими словами, когда это отрицательное число), дробь должна быть больше бесконечности. В настоящее время мы избегаем этой парадоксальной ситуации, утверждая, что бессмысленно делить число на ноль. Дробь 10/0 не бесконечна; она «не определена».
В этом смешении разных мнений прозвучала одна четкая и понятная концепция, принадлежавшая английскому математику Джону Уоллису, который придумал эффективный способ визуальной интерпретации отрицательных чисел . В написанном в 1685 году труде A Treatise of Algebra («Трактат по алгебре») Уоллис впервые представил числовую ось (см. рисунок ниже), на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от ноля в противоположных направлениях. Уоллис писал, что если человек отойдет от ноля вперед на пять ярдов, а затем вернется назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто. А значит, -3 - это та же точка на линии, что и +3, но не вперед, как должно быть, а назад».
Заменив концепцию количества концепцией позиции, Уоллис показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». Как оказалось, это было явное преуменьшение. Понадобилось несколько лет на то, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь, по прошествии времени, очевидно, что цифровая ось - самая успешная разъяснительная схема всех времен. У нее множество разных областей применения, от графиков до термометров. Теперь, когда мы можем увидеть отрицательные числа на числовой оси, у нас больше нет концептуальных трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое.
Числовая ось
Немецкий философ Иммануил Кант тоже вступил в полемику по поводу отрицательных чисел, заявив в своем труде Attempt to Introduce the Concept of Negative Quantities into World-Wisdom («Опыт введения в философию понятия отрицательных величин»), что бессмысленно использовать против них метафизические аргументы . Он доказал, что в реальном мире многое может иметь как положительное, так и отрицательное значение, подобно двум противонаправленным силам, воздействующим на объект. Отрицательное число представляет собой не отрицание числа, а скорее, сопоставимое противоположное.
Тем не менее даже в конце XVIII столетия еще оставались математики, глубоко убежденные в том, что отрицательные числа - это «специальный термин, лишенный здравого смысла; но, будучи однажды введенным в оборот, подобно многим другим выдумкам, находит своих самых рьяных сторонников среди тех, кто любит принимать все на веру и не терпит тяжелый труд серьезных размышлений» .
Уильям Френд, второй среди лучших студентов, изучавших математику в Кембридже, написал эти слова в 1796 году в книге, которая стала уникальной в математической литературе: это было введение в алгебру, не содержащее ни единого отрицательного числа.
Когда мы изучаем отрицательные числа в школе, нам не рассказывают всю эту предысторию. Мы принимаем отрицательные числа по аналогии с числовой осью, а затем узнаем поразительную новость:
Минус, умноженный на минус, дает плюс . Вот это да!
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Выполнил: Капустин Дмитрий 6 «а» класс МБОУ «ЦО№32» Соавтор, консультанты: Белова Татьяна Евгеньевна Руководитель: Механич Галина Борисовна г. Череповец 2017г. Отрицательные числа в истории. Исследовательская работа.
2
слайд
Описание слайда:
3
слайд
Описание слайда:
Цель работы: Изучить историю возникновения отрицательных чисел, и исследовать применение отрицательных чисел в истории. Задачи: Изучить литературу по данной теме. Понять суть отрицательных чисел. Исследовать применение отрицательных чисел в истории. Создать проект по теме и защитить его. Введение: В нашей жизни любые числа играют очень важную роль, в том числе и отрицательные числа. Эти числа возникли из практических нужд людей. Раньше я думал, что самое маленькое число –это ноль, а оказывается, есть еще числа меньше 0. Это я узнал на уроках математике в нашей школе. Для чего эти числа нужны людям? Попробую выяснить применение отрицательных чисел в истории.
4
слайд
Описание слайда:
История возникновения отрицательных чисел Китайский ученый (примерно II веке до н.э.). Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые считает «долгами». В Древней Индии ученые использовали отрицательные числа в торговых расчетах. В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически пользовался отрицательными числами, рассматривая их как «вычитаемые», а положительные как «прибавляемые». В Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет. В Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что ничто не может быть меньше нуля - пустоты.
5
слайд
Описание слайда:
Впервые свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который ввёл их для решения финансовых задач с долгами и использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Он описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году. В XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля. В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать. А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности
6
слайд
Описание слайда:
Отрицательные числа в истории. В исторической науке отрицательные числа необходимы для определения времени. Ведь времени тоже нужен счёт. В древности в разных странах года считали по-разному. В Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. 1-й год правления царя считался первым годом, 2-й– вторым и т. д. Когда этот царь заканчивал своё правление, к власти приходил новый правитель, вновь наступал первый год, второй, третий. В одном из древнейших городов мира-Риме, его жители считали первым Год основания своего города, следующий -вторым и так далее. Счет времени в нашей стране связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Мы ведём счёт от рождения Иисуса Христа. Было это введено царём Петром Первым триста лет назад. До этого летоисчисление велось от «сотворения мира». Во многих других странах постепенно был принят такой же счёт – от Рождества Христова. Мы называем его НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н.Э.) и говорим так: «Пифагор жил в 4 веке до нашей эры»,«Русь находилась под игом монголо -татар в течении 13-15 веков нашей эры» ,«В 2014 году зимняя олимпиада пройдёт в Сочи»,«В 2018 году пройдёт чемпионат мира по футболу».
7
слайд
Описание слайда:
8
слайд
Описание слайда:
Время в нашей личной истории жизни В повседневной жизни мы тоже часто используем «отрицательные» термины «вчера», «позавчера», «третьего дня», «4 дня назад», означающие прошедшее (отрицательное) время в нашей личной истории жизни. Мы часто берём за начало отсчёта какое-то важное событие в своей истории – Рождение, поступление в 1 класс, окончание института и т.д и делим наше время на «до» и «после» этого события. Или в определении какого-то промежутка времени в недавней истории страны, наши родители пользуемся такими выражениями как «до революции», «до войны», «до развала СССР» и сразу понятно, когда произошло то или иное событие.
9
слайд
Описание слайда:
Выводы: выполняя данную работу, я расширил свои знания по математике и истории. Древнегреческий философ Платон прав своим утверждением «Мы…никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы». Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Работая со школьными учебниками, я выяснил, что отрицательные числа кроме математики, физики, географии. встречаются и в истории. Литература и интернет ресурсы. 1.Свободная интернет-энциклопедия http://ru.wikipedia.org/ 2.Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 3.Большая научная энциклопедия, 2005. 4.Детская научная энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г. 5.Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г
Отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.
Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля: n + (− n ) = 0 . Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a .
Свойства отрицательных чисел
Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.
Исторический очерк
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Глейзер Г. И. История математики в школе . - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Отрицательные формы рельефа
- Отрицательный и положительный нуль
Смотреть что такое "Отрицательные числа" в других словарях:
Отрицательные числа - действительные числа, меньшие нуля, например 2; 0,5; π и т. п. См. Число … Большая советская энциклопедия
Положительные и отрицательные числа - (величины). Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
числа отрицательные - Числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами. Тематики бухгалтерский учет … Справочник технического переводчика
ЧИСЛА, ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ - числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами … Большой бухгалтерский словарь
Целые числа - Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из… … Википедия
Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй,… … Википедия
ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА - коэффициенты Е n в разложении Рекуррентная формула для Э. ч. имеет вид (в символической записи, (E + 1)n + (Е 1)n=0, E0 =1. При этом Е 2п+1=0, E4n положительные, E4n+2 отрицательные целые числа для всех n=0, 1, . . .; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математическая энциклопедия
Отрицательное число - Отрицательное число элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате… … Википедия
История арифметики - Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия
Арифметика - Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия
Книги
- Математика. 5 класс. Учебная книга и практикум. В 2 частях. Часть 2. Положительные и отрицательные числа , . Учебная книга и практикум для 5 класса входят в состав УМК по математике для 5-6 классов, разработанного авторским коллективом под руководством Э. Г. Гельфман и М. А. Холодной в рамках…
История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Положительные числа долго трактовали как "прибыль", а отрицательные – как "долг", "убыток". Лишь в Древней Индии и Китае догадались вместо слов "долг в 10 юаней" писать просто "10 юаней", но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков "+" и "–", о которых мы говорили, в древности не было ни для чисел, ни для действий.
В Древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. В Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Бхасхара прямо писал: "Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел..." Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование "имущество-долг" вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, можно "складывать" или "вычитать" имущества и долги, но какой реальный смысл может иметь"умножение" или "деление" имущества на долг? Греки тоже поначалу знаков не использовали, пока в III веке Диофант Александрийский не стал обозначать вычитание знаком.
Современные знаки «+» и «–» появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г.). Чех Ян Видман уже писал «+» и «–» для сложения и вычитания. А чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году, именно напечатана, а не написана от руки. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» – это 0.
Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Отрицательные числа систематически употреблялись индийскими математиками еще в VIXI веках. В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь после работ Р. Декарта в XVII веке, давшего их геометрическое истолкование.
