Что значит составить выражение с переменными. Тождества
Решение задач и некоторых выражений не всегда приводит к чистым числовым ответам. Даже в случае тривиальных расчетов, можно прийти к определенной конструкции, именуемой выражением с переменной.
Например, рассмотрим две практические задачи. В первом случае у нас есть некий завод, вырабатывающий 5 тонн молока каждый день. Необходимо найти, сколько молока вырабатывается заводом за р дней.
Во втором случае есть прямоугольник, ширина которого равна 5 см, а длина р см. Найти площадь фигуры.
Разумеется, если завод вырабатывает пять тонн в день, то за р дней, по простейшей математической логике, он выдаст 5р тонн молока. С другой стороны, площадь прямоугольника равна произведению его сторон - то есть, в данном случае, это 5р. Иными словами, в двух тривиальных задачах с разными условиями, ответом является одно целое выражение - 5р. Подобные одночлены именуются выражением с переменной, так как помимо числовой части они содержат некоторую букву, именуемую неизвестной, или переменной. Обозначается такой элемент строчными буквами латинского алфавита, чаще всего, х или у, хотя это не принципиально.
Особенностью переменной является то, что она может принимать любые значения на практике. Подставляя разные числа, мы будем получать итоговое решение для наших задач, например, для первой:
р = 2 дня, завод выдает 5р = 10 тонн молока;
р = 4 дня, завод выдает 5р = 20 тонн молока;
Или для второй:
р = 10 см, площадь фигуры равна 5р = 50 см2
р = 20 см, площадь фигуры равна 5р = 100 см2
Важно понимать, что р - это не набор некоторых отдельных значений, а все множество, которое будет математически соответствовать условию задачи. Основная роль переменной - это заменить недостающий элемент в условии. Любая математическая задача должна включать некоторые конструкции и отображать взаимосвязь между этими конструкциями в условии. Если значения какого-либо объекта не хватает, то вместо него и вводится переменная. При этом она является абстрактной заменой именно самого элемента условия (количества чего-либо, представленного числом, или выражением), а не функциональных связей.
Если рассматривать выражение вида 5р, как нейтральный и независимый объект, то значение р в нем может принимать какие угодно значения, фактически р тут равен множеству всех действительных чисел.
Но в наших задачах на ответ в виде 5р накладываются определенные математические ограничения, которые вытекают из условий. Например, дни и сутки не могут быть отрицательными, поэтому р в обеих задачах всегда равен нулю или больше его. Кроме того, дни не могут быть дробными - для первой задачи действительны только те значения р, которые являются целыми положительными числами.
В первой задаче: р равно конечному множеству всех положительных целых чисел;
Во второй задаче: р равно конечному множеству всех положительных чисел.
Выражения могут включать и сразу две переменные, например:
В данном случае, бином представлен двумя одночленами, каждый из которых имеет переменную в составе, причем эти переменные являются разными, то есть - независимыми друг от друга. Значение этого выражения может быть рассчитано полностью только при наличии значения обеих переменных. Например, если х = 2, а у = 4, то:
2х + 3у = 4 + 12 = 16 (при х = 2, у = 4)
Стоит отметить, что в этом выражении нет математических, или логических ограничений на значения переменной - и х, и у принадлежат всему множеству действительных чисел.
В общем плане, множество всех чисел, при подстановке которых вместо переменной выражение сохраняет смысл и действительность, называется областью определения (или значения) переменной.
В абстрактных примерах, не связанных с реальными задачами, область определения переменной чаще всего либо равна всему множеству действительных чисел либо ограничивается некоторыми конструкциями, например, дробью. Как известно, при нулевом значении делителя вся дробь теряет смысл. Поэтому переменная в выражении вида:
не может быть равна пяти, так как тогда:
7х/(х - 5) = 7х/0 (при х = 5)
И дробь потеряет смысл. Поэтому для этого выражения переменная х имеет область определения - множество всех чисел за исключением 5.
В нашем видеоуроке отмечен также особый случай применения переменных, когда они обозначают число одного порядка. Например, числа 54, 30, 78 можно задать через переменную а, либо же через конструкцию аb (с горизонтальной чертой сверху, для отличия от произведения), где b задает единицы (соответственно 4, 0, 8), а - десятки (соответственно, 5, 3, 7).
На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.
Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.
Навигация по странице.
Одночлены и многочлены
Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены . На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.
Определение.
Одночленами называются числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.
Определение.
Многочлены – это сумма одночленов.
Например, число 5 , переменная x , степень z 7 , произведения 5·x и 7·x·2·7·z 7 – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7 , то получим многочлен.
Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень , в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.
На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами .
Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен , а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители .
Рациональные (алгебраические) дроби
В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби , которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями .
Определение.
Рациональная (алгебраическая) дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, в частности, одночлены и числа.
Приведем несколько примеров рациональных дробей: и 
. К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.
На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями .
Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей , наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.
Рациональные выражения
Определение.
Выражения со степенями (степенные выражения) – это выражения, содержащие степени в своей записи.
Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2 3
, 
. Также имеют место степенные выражения с переменными: 
и т.п.
Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями .
Иррациональные выражения, выражения с корнями
Определение.
Выражения, содержащие логарифмы называют логарифмическими выражениями .
Примерами логарифмических выражений являются log 3 9+lne
, log 2 (4·a·b)
, 
.
Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .
В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений .
Дроби
В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.
Дробь расширяет понятие . Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.
Итак, дадим определение дроби.
Определение.
Дробь – это выражение, состоящее из разделенных дробной чертой числителя и знаменателя, которые представляют собой некоторые числовые или буквенные выражения или числа.
Данное определение позволяет привести примеры дробей.
Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4
, 
, (−15)/(−2)
. В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3
, (a+b+c)/(a 2 +b 2)
, 
.
А вот выражения 2/5−3/7 , дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.
Выражения общего вида
В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, 
или 
. Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида
, а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.
Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.
Список литературы.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
В выражения с переменной могут входить буквы, числа, знаки операции, скобки. Так, 4х + 3, х +2у – 2, (у + 4) : х – выражения с переменными.
Областью определения выражения с переменной называется множество значений переменной, при которых это значение имеет смысл. Если дано выражение с двумя переменными х и у , то областью его определения является множество пар чисел (х, у ), при которых это выражение имеет смысл.
Тождества
Два математических выражения называются тождеством , если оно превращается в верное числовое равенство при любых значениях переменных, принадлежащих общей области определения (т.е. при значениях переменных, при которых выражения имеют смысл).
Неравенства с одной переменной. Основные понятия. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильных неравенствах, следствия из них.
Предложения 2х+7>10-х, х²+7х<2 называют неравенством с одной переменной.
Пусть f(x) и g(х) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(х)>g(х) или f(х) Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называют его решением. Решить неравенство
– это значит найти множество его решений. В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Два неравенства называют равносильными
, если их множества решений равны. Неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, так как множества их решений равны и представляют промежуток (2/3; ∞). Теорема 3.
Пусть неравенство f(х)>g(х) задано на множестве Х, h(х) – выражение, определённое на том же множестве. Тогда неравенства f(х)>g(х) и f(х)+ h(х)> g(х)+ h(х) равносильны на множестве Х. Следствия:
1. Если к обеим частям неравенства f(х)>g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d>g(х)+d, равносильное исходному. 2. если какое-либо слагаемое перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство равносильное данному. Теорема 4.
Пусть неравенство f(х)>g(х) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определённое на том же множестве и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х)>g(х) и f(х)·h(х) Следствие:
если обе части неравенства f(х)>g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d Уравнения с двумя переменными. Основные понятия (область определения, решение, множество решений, соотношение между ними).
Равенство f(х; у) = 0
представляет уравнение с двумя переменными.
Решением
такого уравнения является пара значений переменных
, которая обращает уравнение с двумя переменными в верное равенство. Если перед нами уравнение с двумя переменными, то в его записи на первое место мы должны поставить х, на второе – у. Рассмотрим уравнение х – 3у = 10. Пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями рассматриваемого уравнения, в то время как пара (1; 5) решением не является. Чтобы найти другие пары решений данного уравнения, необходимо одну переменную выразить посредством другой – например, х через у. В результате мы получим уравнение Если уравнения с двумя переменными имеют одинаковые корни, то такие уравнения называются равносильными.
Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных преобразованиях уравнений. Рассмотрим график уравнения с двумя переменными. Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Все его решения можно изобразить точками на координатной плоскости. Это множество точек плоскости и называется графиком уравнения f(х; у) = 0. Так, графиком уравнения у – х 2 = 0 является парабола у = х 2 ; графиком уравнения у – х = 0 является прямая; графиком уравнения у – 3 = 0 является прямая, параллельная оси х, и др. Уравнение вида ax + by = c, где x и y – переменные, а a, b и c – числа, называется линейным;
числа a, b называются коэффициентами при переменных, с – свободным членом. Графиком линейного уравнения ax + by = c является: Если линейное уравнение ax + by = c имеет вид 0 ∙ х + 0 ∙ y = c, то мы должны рассмотреть два случая: 1. с = 0. В таком случае уравнению удовлетворяет любая пара (х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость; 2. с ≠ 0. В таком случае уравнение не имеет решения, значит, его график не содержит ни одной точки. 25. графическое решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными
. Предикат вида f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у)
-выражения с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенством с двумя переменными (с двумя неизвестными)
х и у.
Ясно, что любое неравенство вида с двумя переменными можно записать в виде f(х, у) >
0,хÎХ, уÎ У. Решением неравенства
с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство.
Известно, что пара действительных чисел(х, у)
однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости. Если уравнение. f(х, у)
= 0 определяет некоторую линию на координатной плоскости, то множество точек плоскости, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁,С 2 ,
...,С п
(рис. 17.8). В каждой из областей С, функцияf(х, у)
отлична от нуля, т.к. точки, в которыхf(х, у)
= 0 принадлежат границам этих областей Уравнение прямой
Общее уравнение прямой
- уравнение первой степени относительно переменных х и у, т.е. уравнение вида Ах
+Ву + С = 0 при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю.
Уравнение прямой в отрезках
имеет вид х/а + у/b= 1, гдеа
иb- соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осямиОх
иОу.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
имеет вид у =кх + b,
гдек =
tgά - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к осиОх, а b~
ордината точки пересечения прямой с осьюОу
Уравнение прямой, проходящей через две точки
А(х ] , у ])
иВ(х 2 ,у 2),
имеет вид (х – х
₁)
)(х₂ -х
₁
) = (у - у₁
) / (у₂ - у₁
) Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
А и В, находится по формуле
k = (у₂ - у₁
) /
(х₂ -х
₁
) 27.Взаимное расположение прямых на плоскости
На плоскости заданы прямые общими уравнениями: Если выполнены условия Если выполнены условия Векторы - нормальные векторы прямых и соответственно. Если скалярное произведение векторов и обращается в ноль, т. е. то прямые и перпендикулярны. Условие перпендикулярности прямых и в координатной форме: Время и его измерение
Время
- одна из основных величин. Изучение мер времени, и ориентировка во времени представляют для детей значительные трудности. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, поэтому восприятие промежутков времени, сравнение событий по продолжительности вызывает определенные трудности. Промежутки времени можно сравнивать.
Промежутки времени можно складывать, вычитать, умножать на положительное действительное число.
Промежутки времени измеряют..
Единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда.
Век - это такая единица измерения времени, длительность которой ощутить практически невозможно. Надо учить детей определять, сколько целых столетий прошло за определенный промежуток. Год – это промежуток времени, близкий по продолжительности к периоду обращения Земли вокруг Солнца. Год делится на 12 календарных месяцев разной продолжительности (28, 29, 30, 31 день). В году примерно 365 дней. Различаю: календарный (юлианский, григорианский), лунный, звездный, тропический, драконический, аномалистический. Месяц – это промежуток времени, близкий к периоду обращения Луны вокруг Земли. Месяц делится на 4 недели, в каждой из которых 7 дней. Различают: календарный, звездный, синодический, драконический. Сутки бывают эфемеридные (24 ч = 1440 мин = 86400 с), солнечные, средние солнечные, звездные. Неделя – это единица измерения времени равная 7 суткам. В недели примерно168 часов. Минута (от лат. minutus – «маленький», «мелкий») – это единица измерения времени, которая равна 1/60 части часа, т.е. 60 секундам. Секунда (от лат. secunda divisio – «второе деление») – это единица измерения времени, равная 1/60 минуты. 1 г = 12 мес = 52 недели 1 мес= 4 недели 1 неделя = 7 суток 1 сутки = 24 часа = 1440 минут = 86400 секунд 1 час = 1/24 суток = 60 минут = 3600 секунд 1 минута = 1/1440 суток = 1/60 часа = 60 секунд 1 секунда = 1000 миллисекунд Календарь
– система счисления длительных промежутков времени, основанная на периодичности таких явлений природы, как смена дня и ночи, смен фаз Луны, смена времени года. Лунный календарь;Солнечно – лунный календарь;Юлианский календарь («старый стиль»); Григорианский календарь («новый стиль») и др. 35. Зависимость между величинами.
Зависимости между величинами многообразны. Рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолинейным движением - время, скорость и расстояние. Зависимость между временем (t), скоростью(v) и расстоянием (S), пройденным телом при прямолинейном равномерном движении, может быть выражена формулой S = v · t. Если движение таково, что скорость принимает одно и то же значение, то зависимость пройденного расстояния от времени прямо пропорциональная, так как выражается формулой вида.у =kх (S = v · t)/ Переменная х есть время движения, а переменная у - пройденное раcстояние/ Коэффициент k обозначает скорость движения. Прямо пропорциональная зависимость между временем и пройденным расстоянием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьшается) время движения, во столько же раз увеличивается (уменьшается) пройденное расстояние. Зависимость расстояния прямолинейного равномерного движения от времени (при постоянной скорости) может быть и линейной, т. е. она может выражаться формулой вида у = kх +b, где k и b - некоторые данные числа Если среди величин S, v, tдве величины - скорость и время - принимают различные значения, а расстояние постоянно, то зависимость между скоростью и временем движения обратно пропорциональная, так как может быть выражена формулой у =k: х, где переменная х есть скорость движения, переменная у - время движения (или наоборот), достояннаяkесть расстояние, которое надо пройти телу. Обратно пропорциональная зависимость между скоростью и временем движения обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьшается) скорость движения, во столько же раз уменьшается (увеличивается) время, затраченное на движение. 36. Зависимость между величинами, хар-ми процессы купли-продажи
37. Прямолинейное равномерное движение
- это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени, тело проходит одинаковое расстояние. Равномерное движение
- это такое движение тела, при котором его скорость остается постоянной (),то есть все время движется с одной скоростью, а ускорение или замедление не происходит (). Прямолинейное движение
- это движение тела по прямой линии, то есть траектория у нас получается - прямая. Не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор скорости совпадает с вектором перемещения. При всем этом средняя скорость в любой промежуток времени равна начальной и мгновенной скорости: Скорость равномерного прямолинейного движения
- это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времен к значению этого промежутка t: Из данной формулы. мы легко можем выразить перемещение тела при равномерном движении: 38. Угол
– это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла
, а их общее начало – вершиной угла.
Угол называется развёрнутым
, если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны. Угол называется прямым
, если он равен 90°, острым
, если он меньше прямого угла, т.е. меньше 90°, тупым
, если он больше 90°, но меньше 180°, т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого угла. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными
. Сумма смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными
, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. 39. Треугольником
называется геометрическая фигура, которая состоит из трёх тчек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки. Элементы: стороны, углы, высоты,биссектрисы, медианы, средние линии. Высотой
труегол., опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону. Медиана
треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника. Свойства:
1.Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. 2.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести
треугольника. 3.Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих Биссектриса угла -
это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника
называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. Свойства
1.Биссектриса угла - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. 2.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: . 3.Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Высота
©2015-2019 сайт Запись условий задач с помощью принятых в математике обозначений приводит к появлению так называемых математических выражений, которые называют просто выражениями. В этой статье мы подробно поговорим про числовые, буквенные выражения и выражения с переменными
: дадим определения и приведем примеры выражений каждого вида. Навигация по странице.
Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с самых первых уроков математики. Но свое имя – числовые выражения – они официально приобретают немного позже. Например, если следовать курсу М. И. Моро, то это происходит на страницах учебника математики для 2 классов. Там представление о числовых выражениях дается так: 3+5
, 12+1−6
, 18−(4+6)
, 1+1+1+1+1
и т.п. – это все числовые выражения
, а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения
. Можно сделать вывод, что на этом этапе изучения математики числовыми выражениями называют имеющие математический смысл записи, составленные из чисел, скобок и знаков сложения и вычитания. Чуть позже, после знакомства с умножением и делением, записи числовых выражений начинают содержать знаки «·» и «:». Приведем несколько примеров: 6·4
, (2+5)·2
, 6:2
, (9·3):3
и т.п. А в старших классах разнообразие записей числовых выражений разрастается как снежный ком, катящийся с горы. В них появляются обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и отрицательные числа, степени, корни, логарифмы, синусы, косинусы и так далее. Обобщим всю информацию в определение числового выражения: Определение.
Числовое выражение
- это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.
Разъясним все составные части озвученного определения. В числовых выражениях могут участвовать абсолютно любые числа: от натуральных до действительных, и даже комплексных. То есть, в числовых выражениях можно встретить Со знаками арифметических действий все понятно – это знаки сложения, вычитания, умножения и деления, имеющие соответственно вид «+», «−» , «·» и «:». В числовых выражениях может присутствовать один из этих знаков, некоторые из них или все сразу, и причем по нескольку раз. Вот примеры числовых выражений с ними: 3+6
, 2,2+3,3+4,4+5,5
, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12
. Что касается скобок , то имеют место как числовые выражения, в которых есть скобки, так и выражения без них. Если в числовом выражении есть скобки, то они в основном А иногда скобки в числовых выражениях имеют какое-нибудь определенное отдельно указанное специальное предназначение. К примеру, можно встретить квадратные скобки, обозначающие целую часть числа, так числовое выражение +2
обозначает, что к целой части числа 1,75
прибавляется число 2
. Из определения числового выражения также видно, что в выражении могут присутствовать , , log
, ln
, lg
, обозначения или и т.п. Вот примеры числовых выражений с ними: tgπ
, arcsin1+arccos1−π/2
и Деление в числовых выражениях может быть обозначено с помощью . В этом случае имеют место числовые выражения с дробями. Приведем примеры таких выражений: 1/(1+2)
, 5+(2·3+1)/(7−2,2)+3
и В качестве специальных математических символов и обозначений, которые можно встретить в числовых выражениях, приведем . Для примера покажем числовое выражение с модулем Понятие буквенных выражений дается практически сразу после знакомства с числовыми выражениями. Вводится оно примерно так. В некотором числовом выражении одно из чисел не записывается, а вместо него ставится кружочек (или квадратик, или нечто подобное), и говорится, что вместо кружочка можно подставить некоторое число. Для примера приведем запись . Если вместо квадратика поставить, например, число 2
, то получится числовое выражение 3+2
. Так вот вместо кружочков, квадратиков и т.п. условились записывать буквы, а такие выражения с буквами назвали буквенными выражениями
. Вернемся к нашему примеру , если в этой записи вместо квадратика поставить букву a
, то получится буквенное выражение вида 3+a
. Итак, если допустить в числовом выражении присутствие букв, которыми обозначены некоторые числа, то получится так называемое буквенное выражение. Дадим соответствующее определение. Определение.
Выражение, содержащее буквы, которыми обозначены некоторые числа, называется буквенным выражением
.
Из данного определения понятно, что принципиально буквенное выражение отличается от числового выражения тем, что может содержать буквы. Обычно в буквенных выражениях используются маленькие буквы латинского алфавита (a, b, c, …
), а при обозначении углов – маленькие буквы греческого алфавита (α, β, γ, …
). Итак, буквенные выражения могут быть составлены из чисел, букв и содержать все математические символы, которые могут встречаться в числовых выражениях, такие как скобки, знаки корней, логарифмы, тригонометрические и другие функции и т.п. Отдельно подчеркнем, что буквенное выражение содержит по крайней мере одну букву. Но может содержать и несколько одинаковых или различных букв. Теперь приведем несколько примеров буквенных выражений. Например, a+b
– это буквенное выражение с буквами a
и b
. Вот другой пример буквенного выражения 5·x 3 −3·x 2 +x−2,5
. И приведем пример буквенного выражения сложного вида: Если в буквенном выражении буква обозначает величину, которая принимает не какое-то одно конкретное значение, а может принимать различные значения, то эту букву называют переменной
и выражение называют выражением с переменной
. Определение.
Выражение с переменными
– это буквенное выражение, в котором буквы (все или некоторые) обозначают величины, принимающие различные значения.
Например, пусть в выражении x 2 −1
буква x
может принимать любые натуральные значения из интервала от 0
до 10
, тогда x
– есть переменная, а выражение x 2 −1
есть выражение с переменной x
. Стоит отметить, что переменных в выражении может быть несколько. К примеру, если считать x
и y
переменными, то выражение Вообще, переход от понятия буквенного выражения к выражению с переменными происходит в 7 классе, когда начинают изучать алгебру. До этого момента буквенные выражения моделировали какие-то конкретные задачи. В алгебре же начинают смотреть на выражение более общо, без привязки к конкретной задаче, с пониманием того, что данное выражение подходит под огромное число задач. В заключение этого пункта обратим внимание еще на один момент: по внешнему виду буквенного выражения невозможно узнать, являются ли входящие в него буквы переменными или нет. Поэтому ничто нам не мешает считать эти буквы переменными. При этом разница между терминами «буквенное выражение» и «выражение с переменными» исчезает. Список литературы.
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию. Цели урока:
познакомить с понятиями выражение с переменными, значение выражения с переменными, формула, учить различать выражения, которые не имеют смысла. Вид урока:
комбинированный урок. Оборудование:
карточки для индивидуального опроса, карточки для игры «Математическое лото», презентация. А) Проверка готовности к уроку. Б) Приветствие. с.7 № 25, 31, 44. А) Проверка домашнего задания.
840=23*3*5*7; 1260=22*3*5*31 НОД (840, 1260)=23*3*5*7*31=26040. Ответ: 26040. НОД (120, 280, 320)=23*5=40 40>30, 40 (уч.) – в первом классе. Ответ: 40 учащихся. 1 способ
х=3,2*200/1000; х=0,64. 0,64 (%) – жира х=2,5*200/1000; х=0,5. 0,5 (%) – белка х=4,7*200/1000; х=0,94. 0,94 (%) – углеводов 2 способ
1000/200=5 (раз) – уменьшился объем молока Ответ: 0,64 %,0,5 %, 0,94 %. а) 28+15; б) 6*3; в) 3-8,7; г) 0,8:0,4. Б) Индивидуальные карточки.
В) Математическое лото.
Выполнить действия и получить изображение. 1. Новый материал.
Выражения с переменными
Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за 3 ч пройдет 70*3 км, за 4 ч – 70*4 км, за 5 ч – 70*5 км, за 5,5 ч – 70*5,5 км. – А какое расстояние пройдет автомобиль за t часов? Вообще за t ч он пройдет 70t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 70t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить ее значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 70t называют переменной, а само выражение 70t – выражением с переменной.
Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны а см и в см. Тогда его площадь равна ав см2. Выражение ав содержит две переменные а и в. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях а и в. Например:
если а = 8 и в = 11, то ав = 8-11 = 88;
если а = 25 и в = 4, то ав = 25-4=100.
Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо ее значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.
Так, число 88 есть значение выражения ab при а = 8 и 6=11, число 100 есть значение этого выражения при а = 25 и 6 = 4. Некоторые выражения не имеют смысл при некоторых значениях переменной, а другие имеют смысл при всех значениях переменных. Примерами могут служить выражения х(х + 1), ау – 4. Выражения с переменными используются для записи формул. Рассмотрим примеры. Любое четное число m можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа n, т. е. m=2n. Если в эту формулу вместо n подставлять целые числа, то значениями переменной m будут четные числа. Формулу m= 2n называют формулой четного числа. Формулу m= 2n + 1, где n – целое число, называют формулой нечетного числа. Аналогично формуле четного числа можно записать формулу числа, кратного любому другому натуральному числу. Например, формулу числа, кратного 3, можно записать так: m=3n, где n – целое число. Выполнение №№ 19-24 по учебнику. Резерв №26.
, то прямые совпадают.
, то прямые параллельны.
треугольников.
Высотой
треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-08
Числовые выражения – что это?
.
.
.Что такое буквенные выражения?
.Выражения с переменными
является выражением с двумя переменными x
и y
.
Назад
Вперёд
Ход урока
I.
Инициация.
II. Домашнее задание.
III. Актуализация знаний.
8,5-7,3
5,6+0,9
2,5-(3,2+1,8)
4,7*12,3
2*9,5+14
6,1*(8,4:4)
65:1,3
(10-2,7):5
(6,4+7):2
1,2
6,5
-2,5
57,81
33
12,81
50
1,46
6,7
IV. Формирование новых понятий и убеждений.
V. Применение полученных знаний на практике.
VI. Рефлексия.
