Найти координаты направляющего вектора прямой. Вектор нормали прямой (нормальный вектор)
С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.
Yandex.RTB R-A-339285-1
В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.
Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.
Сформулируем, что такое направляющий вектор.
Определение 1
Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.
Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a → является направляющий вектором прямой a , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t · a → при любом значении t , соответствующем действительному числу.
Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a 1 являются параллельными, то вектор a → будет направляющим и для a , и для a 1 .
Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.
Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей O x , O y и O z направляющими будут координатные векторы i → , j → и k → .
Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой
Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой O x y , а потом с системой O x y z , расположенной в трехмерном пространстве.
1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.
Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x - x 1 a x = y - y 1 a y . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a → = (a x , a y) .
Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.
Приведем пример задачи.
Пример 1
В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x - 1 4 = y + 1 2 - 3 . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.
Решение
Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4 , - 3 . Это и будет нужный нам ответ.
Ответ: 4 , - 3 .
Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.
Пример 2
У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = - 1 y = 7 - 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.
Решение
Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = - 1 + 0 · λ y = 7 - 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = (0 , 5) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , - 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.
Ответ: 0 , - 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0
Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .
А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.
Пример 3
У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x - 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.
Решение
В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = (0 , 1) . Он будет для нее направляющим.
Ответ: (0 , 1)
А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.
1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.
2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.
3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .
Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.
Пример 4
Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y - 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.
Решение
Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:
3 x + 2 y - 10 = 0 ⇔ 3 x = - 2 y + 10
Получившееся равенство преобразовываем и получаем:
3 x = - 2 y + 10 ⇔ 3 x = - 2 (y - 5) ⇔ x - 2 = y - 5 3
Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3
Ответ: -2 , 3
К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.
Определение 2
Вектор a → = (a x , a y , a z) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:
1) канонического уравнения прямой в пространстве x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
2) параметрического уравнения прямой в пространстве x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.
Рассмотрим конкретную задачу.
Пример 5
Прямая в пространстве задана уравнением вида x - 1 4 = y + 1 2 0 = z - 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.
Решение
В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , - 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , - 3 · t при условии, что t является действительным числом.
Ответ: 4 · t , 0 , - 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0
Пример 6
Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = - 4 - λ .
Решение
Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = - 4 - 1 · λ .
Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.
Ответ: 0 , 2 , - 1
Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?
Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.
Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.
Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .
n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 - это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.
Решим задачу, в которой применяется этот подход.
Пример 7
Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z - 1 = 0 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 .
Решение
Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z - 1 = 0 и 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , - 4 .
У нас получится:
n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 - 4 = i → · 2 · (- 4) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 - - k → · 2 · 2 - i → · 3 · 4 - j → · 1 · (- 4) = - 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →
Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = - 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = - 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.
Ответ: - 20 , 10 , 0
В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).
Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:
Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.
Если координаты направляющего вектора приходиться аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».
Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения:
Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:
Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.
Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?
Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:
Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.
Решение: Используем формулу:
Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:
1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : 
– да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).
2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :
Верное равенство.
После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой: 
Ответ: 
На чертеже ситуация выглядит следующим образом:
В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:
Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.
Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме
Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).
Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстро найти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.
Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .
Аналогично с осью 
– точка, в которой прямая пересекает ось ординат.
Действия, которые я только что подробно разъяснил, выполняются устно.
Дана прямая . Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями.
Решение: Приведём уравнение к виду . Сначала перенесём свободный член в правую часть:
Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на –11:
Делаем дроби трёхэтажными:
Точки пересечения прямой с координатными осями всплыли на поверхность:
Ответ: 
Осталось приложить линеечку и провести прямую.
Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках».
Конечно, точки не так трудно найти и из уравнения , но задача всё равно полезная. Рассмотренный алгоритм потребуется для нахождения точек пересечения плоскости с координатными осями, для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду и в некоторых других задачах. Поэтому пара прямых для самостоятельного решения:
Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки её пересечения с координатными осями.
Решения и ответы в конце. Не забывайте, что при желании всё можно начертить.
Как составить параметрические уравнениЯ прямой?
Параметрические уравнения прямой больше актуальны для прямых в пространстве, но без них наш конспект осиротеет.
Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой:
Составить параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение закончилось, не успев начаться:
Параметр «тэ» может принимать любые значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности», и каждому значению параметра соответствует конкретная точка плоскости. Например, если , то получаем точку 
.
Обратная задача: как проверить, будет ли точка условия принадлежать данной прямой?
Подставим координаты точки в полученные параметрические уравнения:
Из обоих уравнений следует, что , то есть, система совместна и имеет единственное решение.
Рассмотрим более содержательные задания:
Составить параметрические уравнения прямой
Решение: По условию прямая задана в общем виде. Для того чтобы составить параметрические уравнения прямой, нужно знать её направляющий вектор и какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой.
Найдём направляющий вектор:
Теперь нужно найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой (подойдёт любая), в этих целях общее уравнение удобно переписать в виде уравнения с угловым коэффициентом:
Напрашивается, конечно, точка
Составим параметрические уравнения прямой:
И напоследок небольшая творческая задача для самостоятельного решения.
Составить параметрические уравнения прямой, если известна принадлежащая ей точка и вектор нормали
Задачу можно оформить не единственным способом. Одна из версий решения и ответ в конце.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Найдём угловой коэффициент: 
Уравнение прямой составим по точке и угловому коэффициенту :
Ответ:
Пример 4: Решение: Уравнение прямой составим по формуле:
Ответ:
Пример 6: Решение: Используем формулу:
Ответ : (ось ординат)
Пример 8:
Решение
: Составим уравнение прямой по двум точкам:
Умножаем обе части на –4:
И делим на 5:
Ответ
:
Пример 10:
Решение
: Используем формулу:
Сокращаем на –2:
Направляющий вектор прямой:
Ответ
:
Пример 12:
а)
Решение
: Преобразуем уравнение:
Таким образом:
Ответ
:
б)
Решение
: Преобразуем уравнение:
Таким образом:
Ответ
:
Пример 15:
Решение
: Сначала составим общее уравнение прямой по точке
и вектору нормали
:
Умножаем на 12:
Умножаем ещё на 2, чтобы после раскрытия второй скобки избавиться от дроби:
Направляющий вектор прямой:
Параметрические уравнения прямой составим по точке
и направляющему вектору
:
Ответ
:
Простейшие задачи с прямой на плоскости.
Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми
Продолжаем рассматривать эти бесконечные-бесконечные прямые.
Как найти расстояние от точки до прямой?
Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
Как найти угол между двумя прямыми?
Взаимное расположение двух прямых
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:
Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут:
1) совпадать;
2) быть параллельными: ;
3) или пересекаться в единственной точке: .
Пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .
Как определить взаимное расположение двух прямых?
Начнём с первого случая:
Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства
Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.
Действительно, если все коэффициенты уравнения 
умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения 
сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .
Второй случай, когда прямые параллельны:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: 
, но .
В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :
Однако совершенно очевидно, что .
И третий случай, когда прямые пересекаются:
Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства
Так, для прямых составим систему:
Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.
Вывод: прямые пересекаются
В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность. Но существует более цивилизованная упаковка:
Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:
а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: 
.
, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.
б) Найдем направляющие векторы прямых :
Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.
Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .
Выясним, справедливо ли равенство :
Таким образом,
в) Найдем направляющие векторы прямых :
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны, либо совпадают.
Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, можно и через коэффициенты самих уравнений: 
.
Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:
Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).
Таким образом, прямые совпадают.
Как построить прямую, параллельную данной?
Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .
Решение: Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».
Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :
Геометрия примера выглядит незатейливо:
Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:
1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.
Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если
Самый короткий путь – в конце.
Как найти точку пересечения двух прямых?
Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений 
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Найти точку пересечения прямых
Решение: Существуют два способа решения – графический и аналитический.
Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:
Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.
Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.
Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:
Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений.
Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.
Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.
Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.
Полное решение и ответ в конце:
Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми
Как построить прямую, перпендикулярную данной?
Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение: По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:
Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ: 
Развернём геометрический этюд:
Аналитическая проверка решения:
1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы 
и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Проверку, опять же, легко выполнить устно.
Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение 
и точка .
Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.
Расстояние от точки до прямой
Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «р», например: – расстояние от точки «м» до прямой «д».
Расстояние от точки до прямой 
выражается формулой 
Найти расстояние от точки до прямой 
Решение: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:
Ответ: 
Выполним чертёж:
Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.
Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:
Как построить точку, симметричную относительно прямой?
Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой 
. Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:
1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .
2) Находим точку пересечения прямых: 
.
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .
Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4-х углов.
Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .
Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём по формуле:
С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса:
Ответ: 
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:
Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.
Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых:
Здесь уже речь идёт не об ориентированном угле, а «просто об угле», то есть результат заведомо будет положительным. Загвоздка состоит в том, что может получиться тупой угол (не тот, который нужен). В этом случае придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из «пи» радиан (180-ти градусов) вычитать получившийся арккосинус.
Найти угол между прямыми .
Это пример для самостоятельного решения. Попробуйте решить его двумя способами.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: Найдём направляющий вектор прямой :
Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору 
Примечание: здесь первое уравнение системы умножено на 5, затем из 1-го уравнения почленно вычтено 2-ое.
Ответ:
Занятие 9 . Плоскость и прямая в пространстве.
9.1. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор.
9.3. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости двух прямых в пространстве.
9.1. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор.
Общее уравнение плоскости в пространстве
имеет вид,
где
- числовые коэффициенты,
- координаты произвольной точки плоскости.
Это уравнение получается при решении следующей задачи.
Задача 1
. Найти уравнение плоскости,
проходящей через заданную точку
перпендикулярно вектору
.
Решение. Обозначим искомую плоскость
через
.
Используем далее такую цепочку выводов:
Отметим полную аналогию между общим
уравнением прямой на плоскости
и общим уравнением плоскости в
пространстве.
Из решения задачи видно, что из общего
уравнения плоскости сразу же можно
найти вектор
перпендикулярныйплоскости. Этот
вектор называетсянормалью
(илинормальным вектором
) к плоскости.
Например, из общего уравнения плоскости
(в этом уравнении)
получаем такой нормальный вектор
.
Коэффициент
не имеет особой смысловой нагрузки,
относительно него можно только сказать,
что при
плоскость проходит через начало координат
,
а при
не проходит через начало координат.
Следует также отметить, что уравнение
задает в пространстве
плоскость с нормалью
,
которая показывает, что данная плоскость
проходит параллельно оси
.
Это же уравнение
на плоскости
определяет прямую.
Аналогично, уравнение
в пространстве
представляет общее уравнение координатной
плоскости
.
Нормалью к этой плоскости служит орт
-
единичный вектор положительного
направления оси
.
При нахождении уравнений плоскостей часто используются условие ортогональности двух векторов (как это делается в задаче 1) и условие компланарности трех векторов.
Пример 1 . Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Решение. Сначала убедимся, что данные
три точки не лежат на одной прямой (если
эти точки лежат на одной прямой, то
существует бесконечно много плоскостей,
содержащих данные точки). Найдем векторы
.
Их координаты не пропорциональны.
Значит, точки
не лежат на одной прямой и через них
проходит только одна плоскость. Найдем
эту плоскость, которую обозначим
,
двумя способами.
1)
- компланарны
смешанное
произведение векторов
равно нулю
Общее уравнение плоскости
.
2)
- вектор нормали к плоскости
,
т.к. по определению векторного произведения
перпендикулярен векторам
,
параллельным
.
Дальнейшие рассуждения повторяют
решение задачи 1.
Общее уравнение плоскости
.
Пример 2
. Найти уравнение плоскости
,
проходящей через точку
параллельно плоскости
:
.
Решение.
:- вектор нормали к плоскости
.
Этот же вектор служит вектором нормали
к плоскости
.
Остается повторить решение задачи 1.
Общее уравнение плоскости
.
Пример 3
.Найти двугранный угол, под
которым пересекаются плоскости
и
.
:
,
:
.
Решение. Двугранный угол
(тупой или острый) между плоскостями
равен углу между их нормалями.
:,
:.
-
тупой угол,
. Острый двугранный угол между
и
равен
.
9.2. Прямая в пространстве
:
канонические, параметрические уравнения.
1). Прямую в пространстве
можно определить как линию пересечения
двух плоскостей. Следовательно, система
из двух уравнений плоскостей
,
(1)
задает прямую в пространстве
при обязательном условии, что нормали
,
к этим плоскостям не параллельны.
Если
и
параллельны, то плоскости
,
либо параллельны, либо совпадают. И в
том и другом случае система (1) уже не
будет давать прямую.
Замечание. Задание прямой системой (1) не совсем удобно, т.к. из него не видно ни направления прямой, ни одной из точек на этой прямой. Эту информацию можно добыть из системы (1) лишь посредством дополнительных вычислений.
Более предпочтительными в плане
сделанного замечания являются канонические
и параметрические уравнения прямой в
.
2). Канонические уравнения прямой в
пространстве
имеют
вид
.
(2)
Здесь
- заданные числа, они имеют следующий
геометрический смысл:
- координаты фиксированной точки
на прямой;
- координаты направляющего вектора
прямой
.
- координаты произвольной точки прямой.
Параметрические уравнения прямой в
имеют вид
(3)
Геометрический смысл величин
и величин
тот же, что и выше.
Уравнения (2),(3) получаются при решении пространственного варианта задачи 2 из занятия 8.
Замечание. У прямой на плоскости есть нормаль , которая также как и направляющий вектор прямой, позволяет установить направление этой прямой.Для прямой в пространстве вектор нормали не имеет смысла , т.к. существует бесконечно много перпендикулярных к пространственной прямой векторов с разным направлением, и один заданный перпендикулярный к этой прямой вектор не дает однозначного ответа о ее направлении.
Пример 4
. Найти канонические уравнения
прямой
,
заданной как пересечение двух плоскостей
:
и
:
.
Система уравнений
задает прямую
в пространстве, т.к. нормальные векторы
к плоскостям
и
,
а это векторы
и
не параллельны. Найдем две фиксированные
точки
на прямой
.
1. Подставим в систему значение
,
получим
.
Геометрический смысл точки
:
это - точка пересечения прямой
с плоскостью
.
2. Подставим в систему значение
,
получим
.
Точка
,
это точка пересечения прямой
с плоскостью
.
3.
- направляющий вектор прямой
.
4.
координаты
векторов
пропорциональны
.
Это и есть каноническое уравнение
прямой
.
5. Замечание. Направляющий вектор прямой
можно было найти по векторам
и
.
Для этого надо вычислить векторное
произведение.
Вектор
перпендикулярен векторам
и
одновременно. Следовательно,
параллелен прямой
и служит другим (по сравнению с вектором
)
направляющим вектором этой прямой.
Кстати:
,
что тоже указывает на параллельность
вектора
прямой
.
При таком подходе канонические уравнения
прямой
получаются после выполнения пунктов
1., 4. и 5. изложенного решения. Только
ответ уже получится в виде
.
Пример 5
. Найти параметрические
уравнения прямой
,
проходящей через точку
перпендикулярно плоскости
:
.
Решение.
- вектор нормали к плоскости
.
Этот вектор параллелен прямой
и, значит, является ее направляющим
вектором. Следовательно,
Пример 6
. Найти канонические и
параметрические уравнения прямой
,
проходящей через точку
параллельно прямой
:
.
Решение.
- направляющий вектор прямой
.
Этот же вектор является направляющим
вектором искомой прямой
.
Следовательно,
координаты
векторов
пропорциональны
- канонические уравнения прямой
-
параметрические уравнения прямой
.
9.3. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
Расстояние
от точки
до плоскостинаходится по формуле
.
Наиболее полезную информацию о взаимном расположении двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве можно извлечь из направляющих векторов прямых и нормалей к плоскостям.
Пример 8
. Найти расстояние
от точки
до плоскости
.
Решение. .
Пример 9
. При каком значении параметра
плоскость
:
параллельна плоскости
:
?
Решение. Плоскости параллельны тогда
и только тогда, когда коллинеарны их
нормальные векторы
и
,
т.е. должно быть
.
Это двойное равенство не выполняется
ни при каком
,
т.к.
.
Следовательно, плоскости
и
не параллельны при всех значениях
параметра
.
Пример 10
. При каких значениях
параметров
прямая
:
лежит в плоскости
:
?
По каноническим уравнениям прямой
запишем ее параметрические уравнения
.
все точки прямой
удовлетворяют уравнению плоскости
ответ:
.
Можно эту задачу решить по другому.
- направляющий вектор прямой
и
- фиксированная точка этой прямой.
- вектор нормали к плоскости
.
Далее строим такую цепочку рассуждений.
Пример 11 . Выяснить взаимное расположение двух прямых
:
и
:
.
Решение. Прямые в пространстве могут скрещиваться, могут пересекаться в одной точке, могут быть параллельны, могут совпадать. Выясним, какой из указанных четырех случаев реализуется в этом примере.
Из уравнения
выводим:и
.
Из уравнения
выводим:
и
.
.
Если прямые
и
пересекаются или параллельны, или
совпадают, то тройка векторов
- компланарна. А если прямые
и
скрещиваются, то тройка векторов
-некомпланарна. Найдем смешанное
произведение этих трех векторов.
тройка
-некомпланарна
прямые
и
скрещиваются.
Приведенные в занятиях 8, 9 примеры наглядно демонстрируют мощь векторных методов и исключительную роль условий: коллинеарности двух векторов; ортогональности двух векторов; компланарности трех векторов при нахождении уравнений прямых и плоскостей .
Домашнее задание .
1. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через три точки .
2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением плоскостей .
3. Найти точку
пересечения прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно плоскости
,
с этой плоскостью.
Прямая на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии.
Определение . Уравнение вида
F (x , y )=0 (1)
называется уравнением линии L в заданной системе координат, если этому удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Степень уравнения (1) определяет порядок линии . Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L .
Определение . Уравнение вида
Ах+Ву+С=0 (2)
при произвольных коэффициентах А , В , С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой .
Уравнение (2) есть уравнение первой степени, таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.
Рассмотрим три частных случая, когда уравнение (2) является неполным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.
1)Если С=0 , то уравнение имеет вид Ах+Ву=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат т.к. координаты (0,0) удовлетворяют данному уравнению.
2)Если В=0 (А≠0 ), то уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет прямую, параллельную оси ординат. Разрешив это уравнение относительно переменной х получим уравнение вида х=а , гдеа=-С/А , а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси абсцисс. Если а=0 (С=0 Оу (рис.1а). Таким образом, прямая х=0 определяет ось ординат.
3)Если А=0 (В≠0 ), то уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Разрешив это уравнение относительно переменной у получим уравнение вида у= b , гдеb =-С/В , b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси ординат. Если b =0 (С=0 ), то прямая совпадает с осью Ох (рис.1б). Таким образом, прямая у=0 определяет ось абсцисс.
а) б)
Уравнение прямой в отрезках .
Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем коэффициент С в правую часть и разделим на -С обе части.
Используя обозначения, введенные в первом пункте, получим уравнение прямой «в отрезках »:
Оно имеет такое название потому, что числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.
Пример 2х-3у+6=0 . Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить эту прямую.
Решение
Чтобы построить эту прямую, отложим на оси Ох отрезок а=-3 , а на оси Оу отрезок b =2 . Через полученные точки проведем прямую (рис.2).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что коэффициент В не равен нулю. Выполним следующие преобразования
Уравнение (4), где k =- A / B , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Определение . Углом наклона данной прямой к оси Ох назовем угол α , на который нужно повернуть ось Ох , чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений прямой.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен угловому коэффициенту, т.е k = tgα . Докажем, что –А/В действительно равно k . Из прямоугольного треугольника ΔОАВ (рис.3) выразим tgα , выполним необходимые преобразования и получим:
Что и требовалось доказать.
Если k =0 , то прямая параллельна оси Ох , и её уравнение имеет вид у= b .
Пример . Прямая задана общим уравнением 4х+2у-2=0 . Составить для этой прямой уравнение с угловым коэффициентом.
Решение . Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:
где k=-2, b=1 .
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с данным угловым коэффициентом.
Пусть задана точка М 0 (х 0 ,у 0) прямой и её угловой коэффициент k . Запишем уравнение прямой в виде (4), где b —пока неизвестное число. Так как точка М 0 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (4): . Подставляя выражение для b в (4), получаем искомое уравнение прямой:
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2) и под наклоном к оси Ох под углом 45 0 .
Решение . k = tgα = tg 45 0 =1 . Отсюда: .
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:
Так как точка М 2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:
Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:
Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)
Решение . . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:
Угол между двумя прямыми
Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :
l 1 : , , и
l 2 : , ,
φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .
Отсюда , или
l 2 параллельны, то φ=0 и tgφ =0 . из формулы (7) следует, что , откуда k 2 = k 1 . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.Если прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Линейность уравнения прямой и обратное утверждение.
Направляющий и нормальный векторы.
Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.
Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох
. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу
. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу
. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных
начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой, заданной уравнением
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .
Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить 
, то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию
Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Ах + Ву + С = 0.
Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0
разделить на число 
, которое называется
нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.
р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений
этой прямой.
Уравнение этой прямой в отрезках :
Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)
Уравнение прямой :
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,
параллельные осям или проходящие через начало координат.
Угол между прямыми на плоскости.
Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми
будет определяться как
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,
если k 1 = -1/ k 2 .
Теорема .
Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты
А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых
находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b
представляется уравнением:
Расстояние от точки до прямой.
Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:
Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную
прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :
(1)
Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно
заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
