>> Динамика колебательного движения

§21 ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Для того чтобы описать количественно колебания тела под действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона .

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела m на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Разделив левую и правую части этого уравнения на m, получим

Ранее предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будкм считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах,

Если угол мал, то проекция ускорения примерно равна проекции ускорения на ось ОХ: (см. рис. 3.5). Из треугольника АВО для малого угла а имеем:

Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла , получим

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) для ускорения шарика, прикрепленного к пружине. Следовательно, и решение этого уравнения будет иметь тот же вид, что и решение уравнения (3.4). Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и тела маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. Умножив уравнения (3.4) и (3.10) на m и вспомнив второй закон Ньютона mа x = Fх рез, можно сделать вывод, что колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Уравнение (3.4), как и (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Для того чтобы описать количественно колебания тела под действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механикиНьютона

.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела m на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Это - уравнение движения. Запишем уравнение движения для шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости пружины (см. рис. 3.3). Направим ось ОХ вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия шарика (см. рис. 3.3, а).

В проекции на ось ОХ уравнение движения (3.1) можно записать так: mа x = F x упр, где а х и F х упрсоответственно проекции ускорения и силы упругости пружины на эту ось.

Согласно закону Гука проекция F x ynp прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия. Смещение же равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки (см. рис. 3.3, б, в). Следовательно,

F x упр = -kx (3.2)

где k - жесткость пружины.

Уравнение движения шарика тогда примет вид

mа x = -kx. (3.3)

Разделив левую и правую части уравнения (3.3) на m, получим

Так как масса т и жесткость k - постоянные величины, то их отношение также постоянная величина.

Мы получили уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости. Оно очень простое: проекция а х ускорения тела прямо пропорциональна его координате х, взятой с противоположным знаком.

Уравнение движения математического маятника. При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l. Поэтому положение шарика в любой момент времени определяется одной величиной - углом отклонение нити от вертикали. Будем считать угол положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево (см. рис. 3.5). Касательную к траектории будем считать направленной в сторону положительного отсчета углов.

Обозначим проекцию силы тяжести на касательную к траектории маятника через F t Эта проекция в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол , равна:

Знак «-» здесь стоит потому, что величины F t и имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо ( > 0) составляющая силы тяжести t направлена влево и ее проекция отрицательна: F t < 0. При отклонении маятника влево ( < 0) эта проекция положительна: F t > 0.

Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через t .. Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Согласно второму закону Ньютона

Разделив левую и правую части этого уравнения на m, получим

Ранее предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будкм считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах,

Если угол мал, то проекция ускорения примерно равна проекции ускорения на ось ОХ: (см. рис. 3.5). Из треугольника АВО для малого угла а имеем:

Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла , получим

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) для ускорения шарика, прикрепленного к пружине. Следовательно, и решение этого уравнения будет иметь тот же вид, что и решение уравнения (3.4). Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и тела маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. Умножив уравнения (3.4) и (3.10) на m и вспомнив второй закон Ньютона mа x = Fх рез, можно сделать вывод, что колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Уравнение (3.4), как и (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).

ГОУ ДОД «ПОИСК»

ёв

Динамика

Лабораторная работа № 9.7

ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Инструкция

к выполнению измерений и исследований.

Бланк отчета

Заполняется простым карандашом.

Максимально аккуратно и разборчиво.

Работу выполнил

«……» …………….20..….г.

Работу проверил

.....................................................

Оценка

...............%

«……» …………….20..….г.

Ставрополь 2011

Цель работы:

Углубить представления по теории гармонических колебаний. Освоить методику экспериментальных наблюдений и проверить законы незатухающих гармонических колебаний на примере математического и физического маятника.

Оборудование: стенд для наблюдения колебаний различных маятников, секундомер, линейка.

1. Теоретическая часть

Механические колебания – это вид движения, когда координаты, скорости и ускорения тела многократно повторяются.

Свободными называются колебания, происходящие под действием внутренних сил системы тел. Если при выведении системы из положения равновесия возникает сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению, то в такой системе возникают гармонические колебания . Здесь координаты, скорости и ускорения происходят по закону косинуса (синуса)

x=Acos( w 0 t+ a 0 ); v=–v0sin( w 0 t+ a 0 ); a=a0 Acos( w 0 t+ a 0 ) (1)

где А – амплитуда, w 0 – циклическая частота, a 0 – начальная фаза колебаний. Циклическая частота связана с периодом колебаний Т

(2)

Свободные колебания являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения, либо оно пренебрежительно мало.

font-size:16.0pt"> Системы тел, в которых возникают свободные колебания, часто называют маятниками.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси О , не проходящей через центр масс С тела (рис. 1).

При выведении маятника из положения равновесия на некоторый угол j , составляющая Fn силы тяжести mg уравновешивается силой реакции N оси О , а составляющая F t стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела.

При этом

F t =–mgsin j (3)

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила F t имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника (5-6 ° ) sin j » j (j в радианах) и F t » - mg j , т. е. возвращающая сила пропорциональна углу отклонения и направлена к положению равновесия, что и требуется для получения гармонических колебаний.

Маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О , которое описывается основным уравнение динамики вращательного движения

М = J e , (4)

где М – момент силы F t относительно оси О , J – момент инерции маятника относительно той же оси, ε - угловое ускорение маятника.

Момент силы в F t относительно оси О равен:

M = F t × l = - mg j × l , (5)

где l – плечо силы F t - кратчайшее расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

Из уравнений (4) и (5) , составленных в дифференциальной форме, получается решение в виде

j = j m × cos( w 0 t+ j 0 ) , (6)

где . (7)

Из этого решения следует, что при малых амплитудах колебания (j <5-6 ° ) физический маятник совершает гармонические колебания с угловой амплитудой колебаний j m , циклической частотой и периодом Т

font-size:16.0pt; font-weight:normal"> . (8)

Анализ формулы (8) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний физического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):

· Период колебаний физического маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний.

· Период колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения (качания).

· Период колебаний физического маятника зависит от положения центра масс маятника относительно точки подвеса.

Простейший физический маятник – массивный груз на подвесе, находящийся в поле силы тяжести. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О . Такая идеализированная модель маятника называется математическим маятником (рис. 2).

Колебания такого маятника происходят по гармоническому закону (6). Так как момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку О , равен J=ml2 , то период колебаний математического маятника равен

. (9)

Анализ формулы (9) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний математического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):

· Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника (что было проверено при выполнении предыдущей серии лабораторных работ).

· Период колебаний математического маятника при малых углах колебаний не зависит от амплитуды колебаний (что также было проверено ранее).

· Период колебаний математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из его длины.

2. Экспериментальная часть

З адание 1. Изучение колебаний физического маятника

Цель. Проверить правильность зависимости (8) периода колебаний физического маятника от его характеристик. Для этого необходимо построить соответствующие экспериментальные графики.

Используемый в данной работе физический маятник представляет собой прямой однородный стержень. Расстояние от центра тяжести стержня, т. е. его середины, до точки подвеса можно изменять. Момент инерции стержня относительно оси вращения (качания) font-size:16.0pt;font-weight:normal">font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (10)

где d – длина стержня, l – расстояние от центра тяжести (центра стержня) до оси качания.

График зависимости T=f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. Для этого преобразуем формулу (10) к виду

font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (11)

Отсюда видно, что если построить график зависимости (T2l) = f(l2) , то должна получится прямая линия y=kx+b , угловой коэффициент которой равен https://pandia.ru/text/79/432/images/image012_32.gif" width="95" height="53 src=">.

1. Укрепите подвес в крайнем положении. Измерьте расстояние l от центра тяжести до оси

2. Измерьте период колебаний Т маятника. Для этого его необходимо отклонить на небольшой угол и измерить время 10-15 полных колебаний.

4. Последовательно уменьшая расстояние l , измерьте периоды колебаний маятника в каждом из этих положений.

5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l) отображает сложную нелинейную зависимость периода колебаний физического маятника от расстояния до оси качания. Второй график – линеаризация той же зависимости. Если точки на втором графике ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о правильности общей формулы (8) и, в данном случае, формулы (10) для периода колебаний физического маятника.

6. С помощью полученного графика зависимости (T2l) = f(l2), определите ускорение свободного падения и длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует сначала определить угловой коэффициент наклона прямой и величину отрезка b отсекаемого прямой от вертикальной оси (рис. 3). Тогда

(12)

При вычислении длины стержня используйте экспериментально полученное значение ускорения свободного падения.

В выводе сравните полученные величины g и d с их действительными значениями.

Отчет

Таблица 1

№ п/п	l, м		t, c	T, c	l2,м2	T2l, c2 × м

T , с

l, м

График зависимости T = f(l).

l2 , м2

T2l , с2м

График зависимости T2l =f(l2)

Результаты опыта: ……………………………………………………….

Выводы: …………………………………………………………………………….

……..………………………………………………………………………………..

………… с2 /м b = …………с2 × м

font-size:16.0pt; line-height:150%"> ……… м/с2 ………м

Вывод : ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Задание 2. Изучение колебаний математического маятника

1. Подвесьте на нити свинцовый шарик, который лучше всего имитирует материальную точку. Длину подвеса изменяйте с шагом приблизительно 10 см так, чтобы получить 5-6 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте не менее . Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5-6 ° .

2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Для этого постройте график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника Т2=f(l) . Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о выполнении формулы (9). Если разброс велик, то следует повторить всю серию измерений.

3. С помощью полученного графика определите ускорение свободного падения. Предварительно следует получить точное уравнение экспериментальной прямой: y=kx+ b. Для этого примените метод наименьших квадратов (МНК) (таблица 3) и определите угловой коэффициент прямой k. Исходя из полученного значения углового коэффициента, вычислите ускорение свободного падения.

k= D T2/ D l = 4 p 2 /g , откуда g=4 p 2 /k . (13)

Отчет

Первоначальное отклонение j = ................

Таблица 2

№ п/п	l , м	N	t , c	T , c	T 2 , c 2

l, м

T 2 , с2

font-size:16.0pt">График зависимости T 2 = f ( l )

МНК Таблица 3

Обозначения: l = x , T2 = y

№ п/п		(xi-)	(xi-)2		(yi-)	(yi-)2	(xi-)(yi-)
	=	S =	S =	=	S =	S =	........................................................................................................................ Вывод:……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Вычисление ускорения свободного падения и погрешности его измерения font-size:16.0pt; font-style:normal">……… м/с2; △ g =………. м/с2 g = ……… ± ……… м/с2, d = …… % Вывод:……………………………………………………………………… ….. ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Дополнительные задания 1. График зависимости T 2 = f ( l ) в третьем задании, скорее всего, не проходит через ноль. Чем это можно объяснить? 2. Почему для получения гармонических колебаний маятников необходимо выполнять требование j < 5-6 ° ? Ответы ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. Термины, законы, соотношения (знать к зачёту ) 1. Что такое колебания? гармонические колебания? периодические процессы? 2. Дайте определения амплитуды, периода, частоты, фазы, циклической частоты колебания. 3. Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени. 4. От чего зависит амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний? 5. Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии гармонических колебаний. 6. Как можно сравнить между собой массы тел, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих тел к пружине? 7. Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятника. 8. Что такое приведенная длина физического маятника? При построении этого графика вертикальную ось совсем не обязательно начинать с нуля. Лучше подобрать масштаб так, чтобы вертикальная ось начиналась с минимального значения периода колебаний маятника.

ЛЕКЦИЯ №8

Механика

Колебания

Колебательное движение. Кинематические и динамические характеристики колебательного движения. Математический, физический и пружинный маятник.

Мы живем в мире, где колебательные процессы являются неотъемлемой частью нашего мира и встречаются повсеместно.

Колебательным процессом или колебанием называется процесс, отличающийся той или иной степенью повторяемости.

Если колеблющаяся величина повторяет свои значения через равные промежутки времени, то такие колебания называются периодическими, а эти промежутки времени называются периодом колебания.

В зависимости от физической природы явления различают колебания: механические, электромеханические, электромагнитные и т.д.

Колебания широко распространены природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе некоторых отраслей механики. В рамках этого курса лекций мы будем говорить только о механических колебаниях.

В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают колебания: 1. Свободные или собственные, 2. Вынужденные колебания, 3. Автоколебания, 4. Параметрические колебания.

Свободными колебаниями называются колебания происходящие без внешнего воздействия и вызванные первоначальным «толчком».

Вынужденные колебания происходят под действием периодической внешней силы

Автоколебания так же совершаются под действием внешней силы, но момент воздействия силы на систему определяется самой колебательной системой.

При параметрических колебаниях за счет внешних воздействий происходит периодическое изменение параметров системы, которое и вызывает этот тип колебаний .

Простейшими по форме являются гармонические колебания

Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие по закону sin или cos . Примером гармонических колебаний является колебание математического маятника

Максимальное отклонение колеблющейся величины в процессе колебаний называетсяамплитудой колебаний (А). Время, за которое совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний (Т). Обратная величина периоду колебаний называется частотой колебаний (). Часто колебаний умноженная на 2 называется циклической частотой (). Таким образом гармонические колебания описываются выражением

Здесь ( t +  0 ) фаза колебания, а  0 – начальная фаза

Простейшими механическими колебательными системами являются так называемые: математический, пружинный и физический маятники. Рассмотрим эти маятники более подробно

8.1. Математический маятник

Математическим маятником называется колебательная система состоящая из массивного точечного тела подвешенного в поле сил тяжести на нерастяжимой невесомой нити.

В нижней точке маятник обладает минимумом потенциальной энергии. Отклоним маятник на угол  . Центр тяжести массивного точечного тела поднимется на высоту  h и при этом потенциальная энергия маятника возрастет на величину mg  h . Кроме того в отклоненном положении на груз действует сила тяжести и сила натяжения нити. Линии действия этих сил не совпадают, и на груз действует результирующая сила стремящаяся вернуть его в положение равновесия. Если груз не удерживать, то под действием этой силы он начнет перемещаться в исходное равновесное положение, его кинетическая энергия вследствие возрастания скорости будет увеличиваться, при этом потенциальная энергия будет уменьшаться. При достижении точки равновесия на тело уже не будет действовать результирующая сила (сила тяжести в этой точке компенсируется силой натяжения нити). Потенциальная энергия тела в этой точке будет минимальна, а кинетическая энергия напротив, будет иметь свое максимальное значение. Тело, двигаясь по инерции, пройдет положение равновесия и начнет от него удаляться, что приведет к возникновению результирующей силы (от силы натяжения и силы тяжести), которая будет направлена против движения тела, тормозя его. При этом начинается уменьшение кинетической энергии груза и возрастания его потенциальной энергии. Этот процесс будет продолжаться до полного исчерпания запасов кинетической энергии и перехода ее в потенциальную. При этом отклонение груза от положения равновесия достигнет максимальной величины и процесс повторится. Если в системе нет трения, колебания груза будут происходить бесконечно долгое время.

Таким образом, колебательные механические системы характеризуются тем, что при отклонении их из положения равновесия в системе возникает возвращающая сила стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. При этом возникают колебания сопровождающиеся периодическим переходом потенциальной энергии системы в ее кинетическую энергию и обратно.

Рассчитаем колебательный процесс. Момент сил М действующий на маятник очевидно равен - mglsin  Знак минус отражает тот факт, что момент сил стремится вернуть груз в положение равновесия. С другой стороны по основному закону вращательного движения М= Id 2  / dt 2 . Таким образом, получим равенство

Б
удем рассматривать только малые углы отклонения маятника из положения равновесия. Тогдаsin  ≈  . И наше равенство примет вид:

Д
ля математического маятника справедливоI = ml 2 . Подставляя это равенство в полученное выражение, получаем уравнение описывающее процесс колебания математического маятника:

Это дифференциальное уравнение описывает колебательный процесс. Решением этого уравнения являются гармонические функции sin ( t +  0 ) или cos ( t +  0 ) Действительно подставим любую из этих функций в уравнение и получим:  2 = g / l . Таким образом, если это условие выполнено, то функции sin ( t +  0 ) или cos ( t +  0 ) превращают дифференциальное уравнение колебаний в тождество.

О
тсюда циклическая частота и период колебаний гармонического маятника выражается как:

Амплитуда колебаний находится из начальных условий задачи.

Как видим, частота и период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и зависят только от ускорения свободного падения и длины нити подвеса, что позволяет использовать маятник как простой, но очень точный прибор для определения ускорения свободного падения.

Другим видом маятника является любое физическое тело, подвешенное за какую либо точку тела и имеющее возможность совершать колебательное движение.

8.2. Физический маятник

Возьмем произвольное тело, пронзим его в какой либо точке несовпадающей с его центром масс осью вокруг которой тело может свободно поворачиваться. Подвесим тело на этой оси, и отклоним его из положения равновесия на некоторый угол .

Т
огда на тело с моментом инерцииI относительно оси О будет действовать возвращающий в положение равновесия момент М = - mglsin  и колебания физического маятника как и математического будут описываться дифференциальным уравнением:

Так как для разных физических маятников момент инерции будет выражаться по разному, то его не будем расписывать как в случае с математическим маятником. Это уравнение так же имеет вид уравнения колебаний, решением которого являются функции описывающие гармонических колебаний. При этом циклическая частота ( ) , период колебаний (Т) определяются как:

Мы видим, что в случае физического маятника период колебаний зависит от геометрии тела маятника, а не от его массы, как и в случае математического маятника. Действительно в выражение для момента инерции входит масса маятника в первой степени. Момент инерции в выражении для периода колебаний стоит в числителе, в то время как масса маятника входит в знаменатель и тоже в первой степени. Таким образом, масса в числителе сокращается с массой в знаменателе.

Физический маятник обладает еще одной характеристикой это приведенная длина.

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника период, которого совпадает с периодом физического маятника.

Это определение позволяет легко определить выражение для приведенной длины.

Сравнивая эти выражения получим

Если на линии проведенной от точки подвеса через центр масс физического маятника отложить (начиная от точки подвеса) приведенную длину физического маятника, то в конце этого отрезка будет точка, которая обладает замечательным свойством. Если физический маятник подвесить за эту точку, то его период колебаний будет тот же, что и в случае подвешивания маятника в прежней точке подвеса. Эти точки называются центрами качания физического маятника.

Рассмотрим еще одну простейшую колебательную систему совершающую гармонические колебания

8.3. Пружинный маятник

Представим, что к концу пружины с коэффициентом жесткостиk прикреплен груз массой m .

Если мы переместим груз вдоль оси х растянув пружину то на груз будет действовать возвращающая в положение равновесия сила F возвр = - kx . Если груз отпустить, то эта сила вызовет ускорение d 2 x / dt 2 . Согласно второму закону Ньютона мы получим:

md 2 x / dt 2 = - kx из этого уравнения получаем уравнение колебания груза на пружине в окончательном виде: d 2 x / dt 2 + (k / m ) x = 0

Э
то уравнение колебаний имеет такой же вид как и уравнения колебаний в уже рассматриваемых случаях, а это значит, что решением этого уравнения будут такие же гармонические функции. Частота и период колебаний будут соответственно равны

Причем сила тяжести ни коем образом не влияет на колебания пружинного маятника. Так как в этом случае она является постоянно действующим фактором, действующим все время в одну сторону и не имеющая ничего общего с возвращающей силой.

Таким образом как мы видим колебательный процесс в механической колебательной системе характеризуется прежде всего наличие в системе возвращающей силы действующей на систему, а сами колебания характеризуются: амплитудой колебания их периодом, частотой и фазой колебаний.

Математический маятник – это модель обычного маятника. Под математическим маятником – понимается материальная точка, которая подвешена на длинной невесомой и нерастяжимой нити.

Выведем шарик из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. При движении маятника, на него еще будет действовать сила трения воздуха. Но мы будем считать её очень маленькой.

Разложим силу тяжести на две составляющих: силу, направленную вдоль нити, и силу направленную перпендикулярно касательной к траектории движения шарика.

Эти две силы составят в сумме силу тяжести. Силы упругости нити и составляющая силы тяжести Fn сообщают шарику центростремительное ускорение. Работа этих сил будет равняться нулю, и следовательно они будут лишь менять направление вектора скорости. В любой момент времени, он будет направлен по касательной к дуге окружности.

Под действием составляющей силы тяжести Fτ шарик будет двигаться по дуге окружности с нарастающей по модулю скоростью. Значение этой сила всегда изменяется по модулю, при прохождении положения равновесия она равняется нулю.

Динамика колебательного движения

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости.

Общее уравнение движения:

Колебания в системе происходят под действием силы упругости, которая согласно закону Гука прямо пропорциональна смещению груза

Тогда уравнение движения шарика примет следующий вид:

Разделим это уравнение на m, получим следующую формулу:

И так как масса и коэффициент упругости величины постоянные, то и отношение (-k/m) тоже будет постоянное. Мы получили уравнение, которые описывают колебания тела под действием силы упругости.

Проекция ускорения тела будет прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Уравнение движения математического маятника

Уравнение движения математического маятника описывается следующей формулой:

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение движения груза на пружине. Следовательно, колебания маятника и движения шарика на пружине происходят одинаковым образом.

Смещение шарика на пружине и смещение тела маятника от положения равновесия изменяются со временем по одинаковым законам.