Для того чтобы описать количественно колебания тела под действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механикиНьютона

.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела m на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Это - уравнение движения. Запишем уравнение движения для шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости пружины (см. рис. 3.3). Направим ось ОХ вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия шарика (см. рис. 3.3, а).

В проекции на ось ОХ уравнение движения (3.1) можно записать так: mа x = F x упр, где а х и F х упрсоответственно проекции ускорения и силы упругости пружины на эту ось.

Согласно закону Гука проекция F x ynp прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия. Смещение же равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки (см. рис. 3.3, б, в). Следовательно,

F x упр = -kx (3.2)

где k - жесткость пружины.

Уравнение движения шарика тогда примет вид

mа x = -kx. (3.3)

Разделив левую и правую части уравнения (3.3) на m, получим

Так как масса т и жесткость k - постоянные величины, то их отношение также постоянная величина.

Мы получили уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости. Оно очень простое: проекция а х ускорения тела прямо пропорциональна его координате х, взятой с противоположным знаком.

Уравнение движения математического маятника. При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l. Поэтому положение шарика в любой момент времени определяется одной величиной - углом отклонение нити от вертикали. Будем считать угол положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево (см. рис. 3.5). Касательную к траектории будем считать направленной в сторону положительного отсчета углов.

Обозначим проекцию силы тяжести на касательную к траектории маятника через F t Эта проекция в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол , равна:

Знак «-» здесь стоит потому, что величины F t и имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо ( > 0) составляющая силы тяжести t направлена влево и ее проекция отрицательна: F t < 0. При отклонении маятника влево ( < 0) эта проекция положительна: F t > 0.

Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через t .. Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Согласно второму закону Ньютона

Разделив левую и правую части этого уравнения на m, получим

Ранее предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будкм считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах,

Если угол мал, то проекция ускорения примерно равна проекции ускорения на ось ОХ: (см. рис. 3.5). Из треугольника АВО для малого угла а имеем:

Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла , получим

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) для ускорения шарика, прикрепленного к пружине. Следовательно, и решение этого уравнения будет иметь тот же вид, что и решение уравнения (3.4). Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и тела маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. Умножив уравнения (3.4) и (3.10) на m и вспомнив второй закон Ньютона mа x = Fх рез, можно сделать вывод, что колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Уравнение (3.4), как и (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).

В § 27 мы выяснили, что при колебательном движении ускорение переменно. Следовательно, это движение обусловлено действием переменной силы. Пусть под действием переменной силы материальная точка массой совершает гармоническое колебание с ускорением а. Тогда, учитывая формулу (5), можно написать

Таким образом, сила, вызывающая гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать следующее определение гармонического колебания (кроме данного в § 27): гармоническим называется колебание,

вызываемое силой, пропорциональной смещению и направленной против смещения. Эта сила стремится возвратить точку в положение равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Возвращающей силой может быть, например, сила упругости, так как она тоже пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку (см. § 10). Возвращающие силы могут иметь и иную, не упругую природу. В этих случаях они называются квазиупругими силами.

Если известны масса материальной точки и коэффициент то из формулы (10) можно определить круговую частоту и период колебания:

Рассмотрим теперь механическую колебательную систему, называемую физическим маятником; это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси. Обычно физический маятник представляет собой стержень с утяжеленным концом; другой его конец подвижно связан с горизонтальной осью В, перпендикулярной к стержню (рис. 51). Отклоненный от положения равновесия на угол а, маятник под действием силы тяжести возвращается к этому положению, переходит его по инерции, отклоняется в противоположную сторону, затем опять переходит положение равновесия и т. д. Если трение в подвесе мало, то маятник будет колебаться очень долго. Центр тяжести маятника С будет описывать дугу окружности Условимся считать угол а положительным при отклонении маятника вправо от положения равновесия и отрицательным - при отклонении влево.

Возвращающая сила

где масса маятника. Знак минус обусловлен тем, что направления силы и угла отклонения всегда противоположны. При малых отклонениях рад а а. Тогда

где дуговое смещение центра тяжести маятника от положения равновесия, длина маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести). Таким образом, возвращающая сила оказывается пропорциональной смещению и противоположной ему по знаку (т. е. является квазиупругой силой). Следовательно, колебания маятника гармонические.

В соответствии с основным законом динамики вращения (см. § 21) момент возвращающей силы выразится соотношением:

где - момент инерции маятника относительно оси подвеса, - угловое ускорение. Тогда

Так как (см. § 6), то, учитывая формулу (5), можем написать

где (о - круговая частота колебаний маятника. Сопоставляя формулы (13) и (14), получим

откуда найдем выражения круговой частоты и периода колебаний физического маятника:

На практике часто оказывается возможным рассматривать физический маятник как математический. Математическим маятником называется материальная точка, колеблющаяся на невесомой и недеформируемой нити (рис. 52). Согласно определению момента инерции материальной точки.(см. § 21), момент инерции математического маятника

где масса материальной точки, длина нити. Подставляя это значение в формулу (16), получим окончательное выражение периода колебаний математического маятника:

Из формулы (17) следует, что

при малых отклонениях а период колебания математического маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, обратно пропорционален квадратному корню из ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

ГОУ ДОД «ПОИСК»

ёв

Динамика

Лабораторная работа № 9.7

ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Инструкция

к выполнению измерений и исследований.

Бланк отчета

Заполняется простым карандашом.

Максимально аккуратно и разборчиво.

Работу выполнил

«……» …………….20..….г.

Работу проверил

.....................................................

Оценка

...............%

«……» …………….20..….г.

Ставрополь 2011

Цель работы:

Углубить представления по теории гармонических колебаний. Освоить методику экспериментальных наблюдений и проверить законы незатухающих гармонических колебаний на примере математического и физического маятника.

Оборудование: стенд для наблюдения колебаний различных маятников, секундомер, линейка.

1. Теоретическая часть

Механические колебания – это вид движения, когда координаты, скорости и ускорения тела многократно повторяются.

Свободными называются колебания, происходящие под действием внутренних сил системы тел. Если при выведении системы из положения равновесия возникает сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению, то в такой системе возникают гармонические колебания . Здесь координаты, скорости и ускорения происходят по закону косинуса (синуса)

x=Acos( w 0 t+ a 0 ); v=–v0sin( w 0 t+ a 0 ); a=a0 Acos( w 0 t+ a 0 ) (1)

где А – амплитуда, w 0 – циклическая частота, a 0 – начальная фаза колебаний. Циклическая частота связана с периодом колебаний Т

(2)

Свободные колебания являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения, либо оно пренебрежительно мало.

font-size:16.0pt"> Системы тел, в которых возникают свободные колебания, часто называют маятниками.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси О , не проходящей через центр масс С тела (рис. 1).

При выведении маятника из положения равновесия на некоторый угол j , составляющая Fn силы тяжести mg уравновешивается силой реакции N оси О , а составляющая F t стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела.

При этом

F t =–mgsin j (3)

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила F t имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника (5-6 ° ) sin j » j (j в радианах) и F t » - mg j , т. е. возвращающая сила пропорциональна углу отклонения и направлена к положению равновесия, что и требуется для получения гармонических колебаний.

Маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О , которое описывается основным уравнение динамики вращательного движения

М = J e , (4)

где М – момент силы F t относительно оси О , J – момент инерции маятника относительно той же оси, ε - угловое ускорение маятника.

Момент силы в F t относительно оси О равен:

M = F t × l = - mg j × l , (5)

где l – плечо силы F t - кратчайшее расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

Из уравнений (4) и (5) , составленных в дифференциальной форме, получается решение в виде

j = j m × cos( w 0 t+ j 0 ) , (6)

где . (7)

Из этого решения следует, что при малых амплитудах колебания (j <5-6 ° ) физический маятник совершает гармонические колебания с угловой амплитудой колебаний j m , циклической частотой и периодом Т

font-size:16.0pt; font-weight:normal"> . (8)

Анализ формулы (8) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний физического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):

· Период колебаний физического маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний.

· Период колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения (качания).

· Период колебаний физического маятника зависит от положения центра масс маятника относительно точки подвеса.

Простейший физический маятник – массивный груз на подвесе, находящийся в поле силы тяжести. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О . Такая идеализированная модель маятника называется математическим маятником (рис. 2).

Колебания такого маятника происходят по гармоническому закону (6). Так как момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку О , равен J=ml2 , то период колебаний математического маятника равен

. (9)

Анализ формулы (9) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний математического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):

· Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника (что было проверено при выполнении предыдущей серии лабораторных работ).

· Период колебаний математического маятника при малых углах колебаний не зависит от амплитуды колебаний (что также было проверено ранее).

· Период колебаний математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из его длины.

2. Экспериментальная часть

З адание 1. Изучение колебаний физического маятника

Цель. Проверить правильность зависимости (8) периода колебаний физического маятника от его характеристик. Для этого необходимо построить соответствующие экспериментальные графики.

Используемый в данной работе физический маятник представляет собой прямой однородный стержень. Расстояние от центра тяжести стержня, т. е. его середины, до точки подвеса можно изменять. Момент инерции стержня относительно оси вращения (качания) font-size:16.0pt;font-weight:normal">font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (10)

где d – длина стержня, l – расстояние от центра тяжести (центра стержня) до оси качания.

График зависимости T=f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. Для этого преобразуем формулу (10) к виду

font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (11)

Отсюда видно, что если построить график зависимости (T2l) = f(l2) , то должна получится прямая линия y=kx+b , угловой коэффициент которой равен https://pandia.ru/text/79/432/images/image012_32.gif" width="95" height="53 src=">.

1. Укрепите подвес в крайнем положении. Измерьте расстояние l от центра тяжести до оси

2. Измерьте период колебаний Т маятника. Для этого его необходимо отклонить на небольшой угол и измерить время 10-15 полных колебаний.

4. Последовательно уменьшая расстояние l , измерьте периоды колебаний маятника в каждом из этих положений.

5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l) отображает сложную нелинейную зависимость периода колебаний физического маятника от расстояния до оси качания. Второй график – линеаризация той же зависимости. Если точки на втором графике ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о правильности общей формулы (8) и, в данном случае, формулы (10) для периода колебаний физического маятника.

6. С помощью полученного графика зависимости (T2l) = f(l2), определите ускорение свободного падения и длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует сначала определить угловой коэффициент наклона прямой и величину отрезка b отсекаемого прямой от вертикальной оси (рис. 3). Тогда

(12)

При вычислении длины стержня используйте экспериментально полученное значение ускорения свободного падения.

В выводе сравните полученные величины g и d с их действительными значениями.

Отчет

Таблица 1

№ п/п	l, м		t, c	T, c	l2,м2	T2l, c2 × м

T , с

l, м

График зависимости T = f(l).

l2 , м2

T2l , с2м

График зависимости T2l =f(l2)

Результаты опыта: ……………………………………………………….

Выводы: …………………………………………………………………………….

……..………………………………………………………………………………..

………… с2 /м b = …………с2 × м

font-size:16.0pt; line-height:150%"> ……… м/с2 ………м

Вывод : ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Задание 2. Изучение колебаний математического маятника

1. Подвесьте на нити свинцовый шарик, который лучше всего имитирует материальную точку. Длину подвеса изменяйте с шагом приблизительно 10 см так, чтобы получить 5-6 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте не менее . Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5-6 ° .

2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Для этого постройте график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника Т2=f(l) . Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о выполнении формулы (9). Если разброс велик, то следует повторить всю серию измерений.

3. С помощью полученного графика определите ускорение свободного падения. Предварительно следует получить точное уравнение экспериментальной прямой: y=kx+ b. Для этого примените метод наименьших квадратов (МНК) (таблица 3) и определите угловой коэффициент прямой k. Исходя из полученного значения углового коэффициента, вычислите ускорение свободного падения.

k= D T2/ D l = 4 p 2 /g , откуда g=4 p 2 /k . (13)

Отчет

Первоначальное отклонение j = ................

Таблица 2

№ п/п	l , м	N	t , c	T , c	T 2 , c 2

l, м

T 2 , с2

font-size:16.0pt">График зависимости T 2 = f ( l )

МНК Таблица 3

Обозначения: l = x , T2 = y

№ п/п		(xi-)	(xi-)2		(yi-)	(yi-)2	(xi-)(yi-)
	=	S =	S =	=	S =	S =	........................................................................................................................ Вывод:……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Вычисление ускорения свободного падения и погрешности его измерения font-size:16.0pt; font-style:normal">……… м/с2; △ g =………. м/с2 g = ……… ± ……… м/с2, d = …… % Вывод:……………………………………………………………………… ….. ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Дополнительные задания 1. График зависимости T 2 = f ( l ) в третьем задании, скорее всего, не проходит через ноль. Чем это можно объяснить? 2. Почему для получения гармонических колебаний маятников необходимо выполнять требование j < 5-6 ° ? Ответы ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. Термины, законы, соотношения (знать к зачёту ) 1. Что такое колебания? гармонические колебания? периодические процессы? 2. Дайте определения амплитуды, периода, частоты, фазы, циклической частоты колебания. 3. Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени. 4. От чего зависит амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний? 5. Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии гармонических колебаний. 6. Как можно сравнить между собой массы тел, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих тел к пружине? 7. Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятника. 8. Что такое приведенная длина физического маятника? При построении этого графика вертикальную ось совсем не обязательно начинать с нуля. Лучше подобрать масштаб так, чтобы вертикальная ось начиналась с минимального значения периода колебаний маятника.