Число имеющее числитель и знаменатель. Как называются дроби
В математике дробь - это число, состоящее из одной или нескольких долей единицы. То есть дробь представляет собой некоторую часть одного целого. Например, если предмет разделить на 4 равные части и взять 1 из них, то получим дробь 1/4, где 3 - это числитель, 4 - знаменатель, а результат такого деления (0,25) - частное. В школьной программе используются различные дроби, как называются они, зависит от их вида.
Обыкновенные, десятичные и периодические дроби
По способу записи различают обыкновенные и десятичные дроби. В первом случае дробь также именуют простой. Состоит она из двух натуральных чисел, разделенных горизонтальной или косой чертой, как на изображении снизу.
Десятичная дробь - это обыкновенная дробь со знаменателем в виде единицы с последующими нулями, пример такой дроби приведен на следующем рисунке. Однако такие дроби, как правило, записываются без знаменателя, а для обозначения части от целого используется запятая (0,3). При этом после запятой указывается столько цифр, сколько нулей в знаменателе простой дроби.
Часть записи десятичной дроби, располагающаяся до позиционной запятой, именуется целой частью дроби, после нее - десятичными знаками. Причем количество знаков после запятой может быть как конечным (2,3), так и бесконечным (2,333333).
В последнем случае речь идет о периодических дробях, поскольку повторяющиеся цифры получили название - период. При этом на письме период принято заключать в скобки, например, 2,(3). Читается данная запись так: две целых и три в периоде. Однако периодические дроби можно округлить, тогда их часто называют круглыми дробями, хотя в математике правильнее будет сказать - округленная дробь.
Правильные, неправильные и смешанные дроби
Дробь называется правильной, когда модуль числителя меньше модуля знаменателя 
(1/3, 2/5, 7/8), в противном случае дробь именуется неправильной (3/2, 9/7, 13/5). В том числе к неправильным дробям причисляют дроби, где числитель и знаменатель равны между собой.
Вместе с тем, любую неправильную дробь можно представить в виде смешанной, пример такой дроби приведен ниже.
Здесь 1 - этот целая часть смешанного числа, а 1/2 - дробная часть. Для обращения смешанного числа в дробь необходимо перемножить целую часть на знаменатель и к полученному значению прибавить числитель. В результате таких действий находится числитель обыкновенной дроби, знаменатель при этом остается прежним.
Сократимые и несократимые дроби
Когда числитель и знаменатель дроби можно поделить на одно и то же число (кроме единицы), дробь называют сократимой, в любом другом случае - несократимой. Например:
- 3/9 - сократимая дробь, поскольку и числитель, и знаменатель можно поделить на 3;
- 3/5 - несократимая дробь, так как оба числа являются простыми, т.е. делятся только на себя и на 1;
- 2/7 - несократимая дробь, так как нет общего числа, на которое делился бы одновременно и числитель, и знаменатель.
Составные и обратные дроби
Нередко школьники не понимают, какая дробь называется обратной, а какая составной. Оказывается, все довольно просто. Если взять дробь 7/8 и поменять местами числитель и знаменатель, то получим дробь 8/7. Именно такие дроби (7/8 и 8/7) называются обратными. Причем следует отметить, что произведение таких дробей всегда равно 1.
К составным дробям относят выражения, включающие несколько черт дроби. Примеры таких дробей приведены ниже.
Кроме этого, различают положительные и отрицательные дроби. Для обозначения последних перед дробью ставится знак «-». При этом знак «+» обычно не указывают, как и у положительных чисел.
Эта статья про обыкновенные дроби . Здесь мы познакомимся с понятием доли целого, которое приведет нас к определению обыкновенной дроби. Дальше остановимся на принятых обозначениях для обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем про числитель и знаменатель дроби. После этого дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче. В заключение перечислим основные действия с дробями.
Навигация по странице.
Доли целого
Сначала введем понятие доли .
Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных долек. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей .
Заметим, что доли бывают разные. Поясним это. Пусть у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе – на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.
В зависимости от количества долей, составляющих целый предмет, эти доли имеют свои названия. Разберем названия долей . Если предмет составляют две доли, любая из них называется одна вторая доля целого предмета; если предмет составляют три доли, то любая из них называется одна третья доля, и так далее.
Одна вторая доля имеет специальное название – половина . Одна третья доля называется третью , а одна четверная доля – четвертью .
Для краткости записи были введены следующие обозначения долей . Одну вторую долю обозначают как или 1/2 , одну третью долю – как или 1/3 ; одну четвертую долю – как или 1/4 , и так далее. Отметим, что запись с горизонтальной чертой употребляется чаще. Для закрепления материала приведем еще один пример: запись обозначает одну сто шестьдесят седьмую долю целого.
Понятие доли естественным образом распространяется с предметов на величины. Например, одной из мер измерения длины является метр. Для измерения длин меньших, чем метр, можно использовать доли метра. Так можно воспользоваться, например, половиной метра или десятой или тысячной долей метра. Аналогично применяются доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры дробей
Для описания количества долей используются обыкновенные дроби . Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.
Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну двенадцатую долю целого апельсина, то есть, . Две доли обозначим как , три доли – как , и так далее, 12 долей обозначим как . Каждую из приведенных записей называют обыкновенной дробью.
Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей .
Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеры обыкновенных дробей
: 5/10
, , 21/1
, 9/4
, . А вот записи 
не подходят под озвученное определение обыкновенных дробей, то есть, не являются обыкновенными дробями.
Числитель и знаменатель
Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель .
Определение.
Числитель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число m .
Определение.
Знаменатель обыкновенной дроби (m/n ) – это натуральное число n .
Итак, числитель расположен сверху над чертой дроби (слева от наклонной черты), а знаменатель – снизу под чертой дроби (справа от наклонной черты). Для примера приведем обыкновенную дробь 17/29 , числителем этой дроби является число 17 , а знаменателем – число 29 .
Осталось обговорить смысл, заключенный в числителе и знаменателе обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких долей состоит один предмет, числитель в свою очередь указывает количество таких долей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти долей, а числитель 12 означает, что взято 12 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В этом случае можно считать, что предмет неделим, иными словами, представляет собой нечто целое. Числитель такой дроби указывает, сколько целых предметов взято. Таким образом, обыкновенная дробь вида m/1 имеет смысл натурального числа m . Так мы обосновали справедливость равенства m/1=m .
Перепишем последнее равенство так: m=m/1 . Это равенство дает нам возможность любое натуральное число m представлять в виде обыкновенной дроби. Например, число 4 – это дробь 4/1 , а число 103 498 равно дроби 103 498/1 .
Итак, любое натуральное число m можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 как m/1 , а любую обыкновенную дробь вида m/1 можно заменить натуральным числом m .
Черта дроби как знак деления
Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.
Если же у нас есть изначально m одинаковых предметов, каждый из которых разделен на n долей, то эти m предметов мы можем поровну разделить между n людьми, раздав каждому человеку по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1/n , а m долей 1/n дает обыкновенную дробь m/n . Таким образом, обыкновенную дробь m/n можно применять для обозначения деления m предметов между n людьми.
Так мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (смотрите общее представление о делении натуральных чисел). Эта связь выражается в следующем: черту дроби можно понимать как знак деления, то есть, m/n=m:n .
С помощью обыкновенной дроби можно записать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8 , то есть, каждому достанется пять восьмых долей яблока: 5:8=5/8 .
Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей
Достаточно естественным действием является сравнение обыкновенных дробей , ведь понятно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12 , а 1/6 доля яблока такая же, как другая 1/6 доля этого яблока.
В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные обыкновенные дроби , а во втором – неравные обыкновенные дроби . Дадим определение равных и неравных обыкновенных дробей.
Определение.
равны , если справедливо равенство a·d=b·c .
Определение.
Две обыкновенные дроби a/b и c/d не равны , если равенство a·d=b·c не выполняется.
Приведем несколько примеров равных дробей. Например, обыкновенная дробь 1/2 равна дроби 2/4 , так как 1·4=2·2 (при необходимости смотрите правила и примеры умножения натуральных чисел). Для наглядности можно представить два одинаковых яблока, первое разрезано пополам, а второе – на 4 доли. При этом очевидно, что две четвертых доли яблока составляют 1/2 долю. Другими примерами равных обыкновенных дробей являются дроби 4/7 и 36/63 , а также пара дробей 81/50 и 1 620/1 000 .
А обыкновенные дроби 4/13 и 5/14 не равны, так как 4·14=56 , а 13·5=65 , то есть, 4·14≠13·5 . Другим примером неравных обыкновенных дробей являются дроби 17/7 и 6/4 .
Если при сравнении двух обыкновенных дробей выяснилось, что они не равны, то возможно потребуется узнать, какая из этих обыкновенных дробей меньше другой, а какая – больше . Чтобы это выяснить, используется правило сравнения обыкновенных дробей, суть которого сводится к приведению сравниваемых дробей к общему знаменателю и последующему сравнению числителей. Детальная информация по этой теме собрана в статье сравнение дробей: правила, примеры, решения .
Дробные числа
Каждая дробь является записью дробного числа . То есть, дробь – это всего лишь «оболочка» дробного числа, его внешний вид, а вся смысловая нагрузка содержится именно в дробном числе. Однако для краткости и удобства понятие дроби и дробного числа объединяют и говорят просто дробь. Здесь уместно перефразировать известное изречение: мы говорим дробь – подразумеваем дробное число, мы говорим дробное число – подразумеваем дробь.
Дроби на координатном луче
Все дробные числа, отвечающие обыкновенным дробям, имеют свое уникальное место на , то есть, существует взаимно однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Чтобы на координатном луче попасть в точку, соответствующую дроби m/n нужно от начала координат в положительном направлении отложить m отрезков, длина которых составляет 1/n долю единичного отрезка. Такие отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n равных частей, что всегда можно сделать с помощью циркуля и линейки.
Для примера покажем точку М на координатном луче, соответствующую дроби 14/10 . Длина отрезка с концами в точке O и ближайшей к ней точке, отмеченной маленьким штрихом, составляет 1/10 долю единичного отрезка. Точка с координатой 14/10 удалена от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.
Равным дробям отвечает одно и то же дробное число, то есть, равные дроби являются координатами одной и той же точки на координатном луче. Например, координатам 1/2 , 2/4 , 16/32 , 55/110 на координатном луче соответствует одна точка, так как все записанные дроби равны (она расположена на расстоянии половины единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении).
На горизонтальном и направленном вправо координатном луче точка, координатой которой является большая дробь, располагается правее точки, координатой которой является меньшая дробь. Аналогично, точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби . Это разделение в своей основе имеет сравнение числителя и знаменателя.
Дадим определение правильных и неправильных обыкновенных дробей.
Определение.
Правильная дробь
– это обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя, то есть, если m Определение.
Неправильная дробь
– это обыкновенная дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, то есть, если m≥n
, то обыкновенная дробь является неправильной.
Приведем несколько примеров правильных дробей: 1/4
, , 32 765/909 003
. Действительно, в каждой из записанных обыкновенных дробей числитель меньше знаменателя (при необходимости смотрите статью сравнение натуральных чисел), поэтому они правильные по определению. А вот примеры неправильных дробей: 9/9
, 23/4
, . Действительно, числитель первой из записанных обыкновенных дробей равен знаменателю, а в остальных дробях числитель больше знаменателя. Также имеют место определения правильных и неправильных дробей, базирующиеся на сравнении дробей с единицей. Определение.
правильной
, если она меньше единицы.
Определение.
Обыкновенная дробь называется неправильной
, если она либо равна единице, либо больше 1
.
Так обыкновенная дробь 7/11
– правильная, так как 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1
, а 27/27=1
. Давайте поразмыслим, чем же обыкновенные дроби с числителем, превосходящим или равным знаменателю, заслужили такое название – «неправильные». Для примера возьмем неправильную дробь 9/9
. Эта дробь означает, что взято девять долей предмета, который состоит из девяти долей. То есть, из имеющихся девяти долей мы можем составить целый предмет. То есть, неправильная дробь 9/9
по сути дает целый предмет, то есть, 9/9=1
. Вообще, неправильные дроби с числителем равным знаменателю обозначают один целый предмет, и такую дробь может заменить натуральное число 1
. Теперь рассмотрим неправильные дроби 7/3
и 12/4
. Достаточно очевидно, что из этих семи третьих долей мы можем составить два целых предмета (один целый предмет составляют 3
доли, тогда для составления двух целых предметов нам потребуется 3+3=6
долей) и еще останется одна третья доля. То есть, неправильная дробь 7/3
по сути означает 2
предмета да еще 1/3
долю такого предмета. А из двенадцати четвертых долей мы можем составить три целых предмета (три предмета по четыре доли в каждом). То есть, дробь 12/4
по сути означает 3
целых предмета. Рассмотренные примеры приводят нас к следующему выводу: неправильные дроби, могут быть заменены либо натуральными числами, когда числитель делится нацело на знаменатель (например, 9/9=1
и 12/4=3
), либо суммой натурального числа и правильной дроби, когда числитель не делится нацело на знаменатель (например, 7/3=2+1/3
). Возможно, именно этим и заслужили неправильные дроби такое название – «неправильные». Отдельный интерес вызывает представление неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (7/3=2+1/3
). Этот процесс называется выделением целой части из неправильной дроби , и заслуживает отдельного и более внимательного рассмотрения. Также стоит заметить, что существует очень тесная связь между неправильными дробями и смешанными числами . Каждая обыкновенная дробь отвечает положительному дробному числу (смотрите статью положительные и отрицательные числа). То есть, обыкновенные дроби являются положительными дробями
. К примеру, обыкновенные дроби 1/5
, 56/18
, 35/144
– положительные дроби. Когда нужно особо выделить положительность дроби, то перед ней ставится знак плюс, например, +3/4
, +72/34
. Если перед обыкновенной дробью поставить знак минус, то эта запись будет соответствовать отрицательному дробному числу. В этом случае можно говорить об отрицательных дробях
. Приведем несколько примеров отрицательных дробей: −6/10
, −65/13
, −1/18
. Положительная и отрицательная дроби m/n
и −m/n
являются противоположными числами . К примеру, дроби 5/7
и −5/7
– противоположные дроби. Положительные дроби, как и положительные числа в целом, обозначают прибавление, доход, изменение какой-либо величины в сторону увеличения и т.п. Отрицательные дроби отвечают расходу, долгу, изменению какой-либо величины в сторону уменьшения. Например, отрицательную дробь −3/4
можно трактовать как долг, величина которого равна 3/4
. На горизонтальной и направленной вправо отрицательные дроби располагаются левее начала отсчета. Точки координатной прямой, координатами которых являются положительная дробь m/n
и отрицательная дробь −m/n
расположены на одинаковом расстоянии от начала координат, но по разные стороны от точки O
. Здесь же стоит сказать о дробях вида 0/n
. Эти дроби равны числу нуль, то есть, 0/n=0
. Положительные дроби, отрицательные дроби, а также дроби 0/n
объединяются в рациональные числа . Одно действие с обыкновенными дробями – сравнение дробей - мы уже рассмотрели выше. Определены еще четыре арифметических действия с дробями
– сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Остановимся на каждом из них. Общая суть действий с дробями аналогична сути соответствующих действий с натуральными числами. Проведем аналогию. Умножение дробей
можно рассматривать как действие, при котором находится дробь от дроби. Для пояснения приведем пример. Пусть у нас есть 1/6
часть яблока и нам нужно взять 2/3
части от нее. Нужная нам часть является результатом умножения дробей 1/6
и 2/3
. Результатом умножения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (которая в частном случае равна натуральному числу). Дальше рекомендуем к изучению информацию статьи умножение дробей – правила, примеры и решения . Список литературы.
Часть единицы или несколько ее частей называют простой или обыкновенной дробью. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем, а количество взятых частей - числителем. Дробь записывается в виде: В данном случае а - числитель, b - знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1, тогда дробь называется неправильной. Если числитель и знаменатель дроби равны, то дробь равна. 1. Если числитель можно разделить на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: В случае если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом, например: Тогда 9 - неполное частное (целая часть смешанного числа), Для того чтобы обратить смешанное число в дробь, необходимо умножить целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавить числитель дробной части. Полученный результат будет числителем обыкновенной дроби, а знаменатель останется прежним. Расширение дроби.
Значение дроби не меняется, если умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Сокращение дроби.
Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Сравнение дробей.
Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше: Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, то есть привести к общему знаменателю. Рассмотрим, например, следующие дроби: Сложение и вычитание дробей.
Если знаменатели дробей одинаковы, то для того чтобы сложить дроби, необходимо сложить их числители, а для того чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители. Полученная сумма или разность будет числителем результата, а знаменатель останется прежним. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел сначала необходимо преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется к виду смешанного числа. Умножение дробей
. Для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе. Деление дробей
. Для того чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Десятичная дробь
- это результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая - число сотых, третья - число тысячных и т. д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками. Например:
Свойства: Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом: 0,321321321321…=0,(321) Сложение и вычитание десятичных дробей выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел, необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим. Умножение десятичных дробей проводится в несколько этапов: Например
: Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 2+1=3. Теперь необходимо с конца получившегося числа отсчитать 3 знака и поставить десятичную точку: 0,675. Деление десятичных дробей. Деление десятичной дроби на целое число: если делимое меньше делителя, тогда нужно записать ноль в целой части частного и поставить после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединить к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравнить полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, надо повторить операцию. Этот процесс повторяется до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел. Деление одной десятичной дроби на другую: сначала переносятся десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом, и выполняются действия, описанные выше. Для того чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, необходимо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять k-ую степень десяти (k - количество десятичных знаков). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Для того чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления. Процент - это сотая часть единицы, например: 5% означает 0,05. Отношение - это частное от деления одного числа на другое. Пропорция - это равенство двух отношений. Например:
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то есть 5х30=6х25. Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным (коэффициент пропорциональности). Таким образом, выявлены следующие арифметические действия. Множество рациональных чисел включает в себя положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее: число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида:, где a и b целые числа. Для отрицательного числа абсолютная величина (модуль) - это положительное число, получаемое от перемены его знака с «-» на «+»; для положительного числа и нуля - само это число. Для обозначения модуля числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число, например: |–5|=5. Пусть дан модуль числа Одночлен - это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы: 3 х a х b. Коэффициентом чаще всего называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех его букв. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду: 3 х a х b + 6 х a = 3 х a х (b + 2). Эта операция называется приведением подобных членов или вынесением за скобки. Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен. Существуют следующие формулы сокращенного умножения: Методы разложения на множители: Алгебраическая дробь - это выражение вида , где A и B могут быть числом, одночленом, многочленом. Если два выражения (числовые и буквенные) соединены знаком «=», то говорят, что они образуют равенство. Любое верное равенство, справедливое при всех допустимых числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством. Уравнение - это буквенное равенство, которое справедливо при определенных значениях входящих в него букв. Эти буквы называются неизвестными (переменными), а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество, - корнями уравнения. Решить уравнение - значит найти все его корни. Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Основные типы алгебраических уравнений: У линейного уравнения ax + b = 0: Уравнение xn = a, n N: Основные тождественные преобразования: замена одного выражения другим, тождественно равным ему; перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками; умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида: ax+b=0, где a и b - известные числа, а x - неизвестная величина. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид: Где a, b, c, d, e, f - заданные числа; x, y - неизвестные. Числа a, b, c, d - коэффициенты при неизвестных; e, f - свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами: метод подстановки: из одного уравнения выражаем одно из неизвестных через коэффициенты и другое неизвестное, а затем подставляем во второе уравнение, решая последнее уравнение, находим сначала одно неизвестное, затем подставляем найденное значение в первое уравнение и находим второе неизвестное; метод сложения или вычитания одного уравнения из другого. Операции с корнями: Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного чис-ла a называется неотрицательное число, n-я степень которого рав-на a. Алгебраическим корнем n-й степени из данного числа называ-ется множество всех корней из этого числа. Иррациональные числа в отличие от рациональных не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида m/n, где m и n - целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно. Квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени ax2+bx+c=0, где a, b, c - заданные числовые или буквенные коэффициенты, x - неизвестное. Если разделить все члены этого уравнения на а, в результате получим x2+px+q=0 - приведенное уравнение p=b/a, q=c/a. Его корни находятся по формуле: Если b2-4ac>0, тогда имеются два различных корня, b2- 4ac=0, тогда имеются два равных корня; b2-4ac Уравнения, содержащие модули Основные типы уравнений, содержащие модули: 1
/
5 Обыкновенная
(или простая
) дробь - запись рационального числа в виде
±
m
n
{\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}
или
±
m
/
n
,
{\displaystyle \pm m/n,}
где
n
≠
0.
{\displaystyle n\neq 0.}
Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем
дроби, а делитель - знаменателем
. Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде: Правильной
называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной
, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице. Например, дроби
3
5
{\displaystyle {\frac {3}{5}}}
,
7
8
{\displaystyle {\frac {7}{8}}}
и - правильные дроби, в то время как
8
3
{\displaystyle {\frac {8}{3}}}
,
9
5
{\displaystyle {\frac {9}{5}}}
,
2
1
{\displaystyle {\frac {2}{1}}}
и
1
1
{\displaystyle {\frac {1}{1}}}
- неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1. Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью
и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой
. Например,
2
3
7
=
2
+
3
7
=
14
7
+
3
7
=
17
7
{\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}
. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений. Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже - наклонных) черт: Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом: Пример:
3,141
5926
{\displaystyle 3{,}1415926}
. Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой - дробной частью . Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью . Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева). Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные. В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь . Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести
) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби:
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
и
c
d
{\displaystyle {\frac {c}{d}}}
. Порядок действий: После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M
). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M
любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение. Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше. Пример. Сравниваем
3
4
{\displaystyle {\frac {3}{4}}}
и
4
5
{\displaystyle {\frac {4}{5}}}
. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20. Следовательно,
3
4
<
4
5
{\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений: НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6.
Приводим дробь
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем
2
4
{\displaystyle {\frac {2}{4}}}
. Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же: В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например: Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй: Например, Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной Для начала нужно сказать, что вообще дробей бывает два вида: обыкновенные дроби и десятичные дроби. Обыкновенные дроби записываются так: Любая дробь - это часть целого
. За целое обычно принимают 1
(единицу). Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделили целое (1
), а числитель - сколько частей взяли. Если мы разрезали торт на 6 одинаковых частей (в математике говорят долей
), то каждая часть торта будет равна 1/6. Если Вася съел 4 куска, то значит, он съел 4/6 . С другой стороны, дробная черта — это не что иное, как знак деления. Поэтому дробь — это частное двух чисел — числителя и знаменателя. В тексте задач или в рецептах блюд дроби записываются обычно так: 2/3, 1/2 и т.д. Некоторые дроби получили собственное название, например, 1/2 — «половина», 1/3 — «треть», 1/4 — «четверть» 2
Виды обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби бывают трех видов: правильные, неправильные и смешанные: Если числитель меньше, чем знаменатель, то такую дробь называют правильной,
например: Если числитель больше, чем знаменатель или равен знаменателю, такая дробь называется неправильной
, например: Неправильная дробь больше единицы(если числитель больше знаменателя) или равна единице (если числитель равен знаменателю) Если дробь состоит из целого числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной
, например: Смешанная дробь всегда больше единицы. 3
Преобразования дробей
В математике обыкновенные дроби часто приходится преобразовывать, то есть смешанную дробь превращать в неправильную и наоборот. Это необходимо для выполнения некоторых действий, например, умножения и деления. Итак, любую смешанную дробь можно перевести в неправильную
. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например: Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную. Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком).Полученное число будет целой частью, а остаток - числителем дробной части, например: При этом говорят: «Мы выделили целую часть из неправильной дроби». Необходимо запомнить еще одно правило: Любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1
, например: Поговорим о том, как сравнивать дроби. 4
Сравнение дробей
При сравнении дробей может быть несколько вариантов: Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, гораздо сложнее — если знаменатели разные. А есть еще и сравнение смешанных дробей. Но не волнуйтесь, сейчас мы подробно рассмотрим каждый вариант и научимся сравнивать дроби. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями больше та дробь, у которой числитель больше, например: Из двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, например: Неправильная или смешанная дробь всегда больше правильной дроби, например: При сравнении двух смешанных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше, например: Если целые части у смешанных дробей одинаковые, больше та дробь, у которой дробная часть больше, например: Сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями без их преобразования нельзя. Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше. А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи. Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю. 5
Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.
Запомните: складывать и вычитать, а также сравнивать можно только дроби, у которых одинаковые знаменатели
. Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к одному знаменателю, то есть так преобразовать одну из дробей, чтобы ее знаменатель стал таким же, как у второй дроби. У дробей есть одно важное свойство, называемое также основным свойством дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби при этом не изменится
: Благодаря этому свойству мы можем сокращать дроби
: Сократить дробь - значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число
(смотрите пример чуть выше). Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так: Чаще же в тетради сокращают дробь так: Но запомните: сокращать можно только множители. Если в числителе или знаменателе сумма или разность, сокращать слагаемые нельзя.
Пример: Нужно сначала преобразовать сумму в множитель: Иногда, при работе с большими числами, для того, чтобы сократить дробь, удобно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя (НОД)
Наибольший общий делитель (НОД)
нескольких чисел - это наибольшее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка. Для того, чтобы найти НОД двух чисел (например, числителя и знаменателя дроби), нужно разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые множители в обоих разложениях, и перемножить эти множители. Полученное произведение и будет НОД. Например, нам нужно сократить дробь: Найдем НОД чисел 96 и 36: НОД нам показывает, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель12, и мы легко сокращаем дробь. Иногда, чтобы привести дроби к одному знаменателю, достаточно сократить одну из дробей. Но чаще бывает необходимо подбирать дополнительные множители для обеих дробей.Сейчас мы рассмотрим, как это делается. Итак: 6
Как приводить дроби к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК).
Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, мы подбираем для знаменателя такое число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель (то есть было бы кратным обоим знаменателям, выражаясь математическим языком). И желательно, чтобы число это было как можно меньшим, так удобнее считать. Таким образом, мы должны найти НОК обоих знаменателей. Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК)
- это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма: Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно: Например, найдем НОК чисел 28 и 21: Однако вернемся к нашим дробям. После того, как мы подобрали или письменно вычислили НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители
. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например: Таким образом мы привели наши дроби к одному знаменателю — 15. 7
Сложение и вычитание дробей
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например: Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например: Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью: Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например: Вычитание проводится аналогично: целая часть вычитается из целой, а дробная — из дробной части: Если дробная часть вычитаемого больше, чем дробная часть уменьшаемого, «занимаем» единицу из целой части, превращая уменьшаемое в неправильную дробь, а дальше действуем как обычно: Аналогично вычитаем из целого числа дробь
: Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например: Если мы складываем целое число и смешанную дробь
, мы прибавляем это число к целой части дроби, например: Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как при сложении дробей с одинаковыми знаменателями (сложить числители): При вычитании действуем аналогично: Если работаем со смешанными дробями, приводим к одинаковому знаменателю их дробные части и далее вычитаем как обычно: целую часть из целой, а дробную — из дробной части: 8
Умножение и деление дробей.
Умножать и делить обыкновенные дроби гораздо проще, чем складывать и вычитать, так как не нужно приводить их к одному знаменателю. Запомните простые правила умножения и деления дробей: Перед тем, как перемножать числа в числителе и знаменателе желательно сократить дробь, то есть избавиться от одинаковых множителей в числителе и знаменателе, как в нашем примере. Чтобы разделить дробь на натуральное число
, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений: Например: Деление дроби на дробь
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю (обратную дробь).Что же это за обратная дробь? Если мы перевернем дробь, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим обратную дробь. Произведение дроби и обратной ей дроби дает единицу. В математике такие числа называют взаимно обратными числами: Например, числа Таким образом, вернемся к делению дроби на дробь: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю
: Например: При делении смешанных дробей нужно так же, как и при умножении, сначала перевести их в неправильные дроби: При умножении и делении дробей на целые натуральные числа
, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1
. И при
делении целого числа на дробь
представляем это число в виде дроби со знаменателем 1
:Положительные и отрицательные дроби
Действия с дробями
1 - остаток (числитель дробной части),
5 - знаменатель.Действия с дробями
Например
:
Например
: 
Свойства десятичных дробей
Действия с десятичными дробями
Например:
Например:
Например:
Свойства абсолютной величины
, для которого справедливы свойства:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, где f(x), g(x), fk(x), gk(x) - заданные функции.
Энциклопедичный YouTube
Обозначения обыкновенных дробей
Правильные и неправильные дроби
Смешанные дроби
Составные дроби
Десятичные дроби
Значение дроби и основное свойство дроби
Действия с дробями
Приведение к общему знаменателю
Сравнение
Сложение и вычитание
Получилось
3
6
{\displaystyle {\frac {3}{6}}}
.
Приводим дробь
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось
2
6
{\displaystyle {\frac {2}{6}}}
.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:Умножение и деление
Преобразование между разными форматами записи
Дробь всегда означает какую то часть целого. Дело в том, что не всегда количество можно передать натуральными числами, то есть пересчитать: 1,2,3 и т.д. Как, например, обозначить половину арбуза или четверть часа? Вот для этого и появились дробные числа, или дроби.
Десятичные дроби записываются по другому:
Обыкновенные дроби состоят из двух частей: вверху — числитель, внизу — знаменатель. Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:
А теперь разберемся, какие бывают виды обыкновенных дробей.Правильная дробь
Правильная дробь всегда меньше 1.Неправильная дробь
Смешанная дробь
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Сравнение смешанных и неправильных дробей с правильными дробями
Сравнение двух смешанных дробей
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
- взаимно обратные, так как 
