Как вычислить абсолютную погрешность измерения. Вычисление абсолютной и относительной погрешности
Основной качественной характеристикой любого датчика КИП является погрешность измерения контролируемого параметра. Погрешность измерения прибора это величина расхождения между тем, что показал (измерил) датчик КИП и тем, что есть на самом деле. Погрешность измерения для каждого конкретного типа датчика указывается в сопроводительной документации (паспорт, инструкция по эксплуатации, методика поверки), которая поставляется вместе с данным датчиком.
По форме представления погрешности делятся на абсолютную , относительную и приведенную погрешности.
Абсолютная погрешность – это разница между измеренной датчиком величиной Хизм и действительным значением Хд этой величины.
Действительное значение Хд измеряемой величины это найденное экспериментально значение измеряемой величины максимально близкое к ее истинному значению. Говоря простым языком действительное значение Хд это значение, измеренное эталонным прибором, или сгенерированное калибратором или задатчиком высокого класса точности. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах измерения, что и измеряемая величина (например, в м3/ч, мА, МПа и т.п.). Так как измеренная величина может оказаться как больше, так и меньше ее действительного значения, то погрешность измерения может быть как со знаком плюс (показания прибора завышены), так и со знаком минус (прибор занижает).
Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к действительному значению Хд измеряемой величины.
Относительная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к нормирующему значению Хn, постоянному во всем диапазоне измерения или его части.
Нормирующее значение Хn зависит от типа шкалы датчика КИП:
- Если шкала датчика односторонняя и нижний предел измерения равен нулю (например, шкала датчика от 0 до 150 м3/ч), то Хn принимается равным верхнему пределу измерения (в нашем случае Хn = 150 м3/ч).
- Если шкала датчика односторонняя, но нижний предел измерения не равен нулю (например, шкала датчика от 30 до 150 м3/ч), то Хn принимается равным разности верхнего и нижнего пределов измерения (в нашем случае Хn = 150-30 = 120 м3/ч).
- Если шкала датчика двухсторонняя (например, от -50 до +150 ˚С), то Хn равно ширине диапазона измерения датчика (в нашем случае Хn = 50+150 = 200 ˚С).
Приведенная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Довольно часто в описании на тот или иной датчик указывается не только диапазон измерения, например, от 0 до 50 мг/м3, но и диапазон показаний, например, от 0 до 100 мг/м3. Приведенная погрешность в этом случае нормируется к концу диапазона измерения, то есть к 50 мг/м3, а в диапазоне показаний от 50 до 100 мг/м3 погрешность измерения датчика не определена вовсе – фактически датчик может показать все что угодно и иметь любую погрешность измерения. Диапазон измерения датчика может быть разбит на несколько измерительных поддиапазонов, для каждого из которых может быть определена своя погрешность как по величине, так и по форме представления. При этом при поверке таких датчиков для каждого поддиапазона могут применяться свои образцовые средства измерения, перечень которых указан в методике поверки на данный прибор.
У некоторых приборов в паспортах вместо погрешности измерения указывают класс точности. К таким приборам относятся механические манометры, показывающие биметаллические термометры, термостаты, указатели расхода, стрелочные амперметры и вольтметры для щитового монтажа и т.п. Класс точности – это обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также рядом других свойств, влияющих на точность осуществляемых с их помощью измерений. При этом класс точности не является непосредственной характеристикой точности измерений, выполняемых этим прибором, он лишь указывает на возможную инструментальную составляющую погрешности измерения. Класс точности прибора наноситься на его шкалу или корпус по ГОСТ 8.401-80.
При присвоении прибору класса точности он выбирается из ряда 1·10 n ; 1,5·10 n ; (1,6·10 n); 2·10 n ; 2,5·10 n ; (3·10 n); 4·10 n ; 5·10 n ; 6·10 n ; (где n =1, 0, -1, -2, и т. д.). Значения классов точности, указанные в скобках, не устанавливают для вновь разрабатываемых средств измерений.
Определение погрешности измерения датчиков выполняют, например, при их периодической поверке и калибровке. С помощью различных задатчиков и калибраторов с высокой точностью генерируют определенные значения той или иной физической величины и сличают показания поверяемого датчика с показаниями образцового средства измерения, на которое подается то же самое значение физической величины. Причем погрешность измерения датчика контролируется как при прямом ходе (увеличение измеряемой физической величины от минимума до максимума шкалы), так и при обратном ходе (уменьшение измеряемой величины от максимума до минимума шкалы). Это связано с тем, что из-за упругих свойств чувствительного элемента датчика (мембрана датчика давления), различной интенсивности протекания химических реакций (электрохимический сенсор), тепловой инерции и т.п. показания датчика будут различны в зависимости от того, как меняется воздействующая на датчик физическая величина: уменьшается или увеличивается.
Довольно часто в соответствии с методикой поверки отсчет показаний датчика при поверке нужно выполнять не по его дисплею или шкале, а по величине выходного сигнала, например, по величине выходного тока токового выхода 4…20 мА.
У поверяемого датчика давления со шкалой измерения от 0 до 250 mbar основная относительная погрешность измерения во всем диапазоне измерений равна 5%. Датчик имеет токовый выход 4…20 мА. На датчик калибратором подано давление 125 mbar, при этом его выходной сигнал равен 12,62 мА. Необходимо определить укладываются ли показания датчика в допустимые пределы.
Во-первых, необходимо вычислить каким должен быть выходной ток датчика Iвых.т при давлении Рт = 125 mbar.
Iвых.т = Iш.вых.мин + ((Iш.вых.макс – Iш.вых.мин)/(Рш.макс – Рш.мин))*Рт
где Iвых.т – выходной ток датчика при заданном давлении 125 mbar, мА.
Iш.вых.мин – минимальный выходной ток датчика, мА. Для датчика с выходом 4…20 мА Iш.вых.мин = 4 мА, для датчика с выходом 0…5 или 0…20 мА Iш.вых.мин = 0.
Iш.вых.макс - максимальный выходной ток датчика, мА. Для датчика с выходом 0…20 или 4…20 мА Iш.вых.макс = 20 мА, для датчика с выходом 0…5 мА Iш.вых.макс = 5 мА.
Рш.макс – максимум шкалы датчика давления, mbar. Рш.макс = 250 mbar.
Рш.мин – минимум шкалы датчика давления, mbar. Рш.мин = 0 mbar.
Рт – поданное с калибратора на датчик давление, mbar. Рт = 125 mbar.
Подставив известные значения получим:
Iвых.т = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 мА
То есть при поданном на датчик давлении равном 125 mbar на его токовом выходе должно быть 12 мА. Считаем, в каких пределах может изменяться расчетное значение выходного тока, учитывая, что основная относительная погрешность измерения равна ± 5%.
ΔIвых.т =12 ± (12*5%)/100% = (12 ± 0,6) мА
То есть при поданном на датчик давлении равном 125 mbar на его токовом выходе выходной сигнал должен быть в пределах от 11,40 до 12,60 мА. По условию задачи мы имеем выходной сигнал 12,62 мА, значит наш датчик не уложился в определенную производителем погрешность измерения и требует настройки.
Основная относительная погрешность измерения нашего датчика равна:
δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*100% = 5,17%
Поверка и калибровка приборов КИП должна выполнятся при нормальных условиях окружающей среды по атмосферному давлению, влажности и температуре и при номинальном напряжении питания датчика, так как более высокие или низкие температура и напряжение питания могут привезти к появлению дополнительной погрешности измерения. Условия проведения поверки указываются в методике поверки. Приборы, погрешность измерения которых не уложилась в установленные методикой поверки рамки либо заново регулируют и настраивают, после чего они повторно проходят поверку, либо, если настройка не принесла результатов, например, из-за старения или чрезмерной деформации сенсора, ремонтируются. Если ремонт невозможен то приборы бракуются и выводятся из эксплуатации.
Если все же приборы удалось отремонтировать то они подвергаются уже не периодической, а первичной поверке с выполнением всех изложенных в методике поверки пунктов для данного вида поверки. В некоторых случаях прибор специально подвергают незначительному ремонту () так как по методике поверки выполнить первичную поверку оказывается существенно легче и дешевле чем периодическую, из-за различий в наборе образцовых средств измерения, которые используются при периодической и первичной поверках.
Для закрепления и проверки полученных знаний рекомендую выполнить .
Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.
Случайные погрешности при прямых измерениях
Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:
Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:
.
Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:
(2)
называется средней абсолютной погрешностью .
Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:
.
(3)
Приборные погрешности при прямых измерениях
Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).
Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).
Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:
Например:
и
,
где U max и I max – предел измерения прибора.
Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.
После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.
Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).
Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:
X = f(a ,b ,c …).
Одним из способов
вычисления погрешности является способ
дифференцирования натурального логарифма
функции Х = f(a
,
b
,
c
…).
Если, например, искомая величина Х
определяется соотношением Х =
,
то после логарифмирования получаем:lnX
= lna
+ lnb
+ ln(c
+
d
).
Дифференциал этого выражения имеет вид:
.
Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:
=
.
(4)
Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:
Х = Х(5)
Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:
1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.
2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.
3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:
X = f(a ,b ,c …).
4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).
5)
Рассчитывают относительную погрешность
=
.
6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).
7) Окончательный результат записывают в виде:
|
Х = Х ср Х |
Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:
|
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
|
|
a+ b |
|
|
|
a+ b |
|
|
|
При любых измерениях, округлении результатов расчетов, выполнении достаточно сложных подсчетов неизбежно возникает то или иное отклонение. Для оценки такой неточности принято использовать два показателя - это абсолютная и относительная погрешность. Если от точного значения числа вычесть полученный результат, то мы получим абсолютное отклонение (причем при подсчете от отнимают меньшее). Например, если округлить 1370 до 1400, то абсолютная погрешность будет равна 1400-1382 = 18. При округлении до 1380, абсолютное отклонение составит 1382-1380 = 2. Формула абсолютной погрешности имеет вид: Δx = |x* - x|, здесь x* - истинное значение, x - приближенная величина. Впрочем, для характеристики точности одного этого показателя явно недостаточно. Судите сами, если погрешность веса составляет 0,2 грамма, то при взвешивании химреактивов для микросинтеза это будет очень много, при взвешивании 200 грамм колбасы вполне нормально, а при измерении веса железнодорожного вагона она и вовсе может быть не замечена. Поэтому часто вместе с абсолютной указывается или рассчитывается также относительная погрешность. Формула данного показателя выглядит так:
Рассмотрим пример. Пусть общее число учеников школы равно 196. Округлим эту величину до 200. Абсолютное отклонение составит 200 - 196 = 4. Относительная погрешность составит 4/196 или округленно, 4/196 = 2%. Таким образом, если известно истинное значение некой величины, то относительной погрешностью принятого приближенного значения является отношение абсолютного отклонения приближенной величины к точному значению. Однако в большинстве случает выявить истинное точное значение очень проблематично, а порой и вовсе невозможно. И, следовательно, нельзя рассчитать точное Тем не менее, всегда можно определить некоторое число, которое всегда будет немного больше, чем максимальная абсолютная или относительная погрешность. Например, продавец взвешивает дыню на чашечных весах. При этом самая маленькая гиря равна 50 граммам. Весы показали 2000 грамм. Это приблизительное значение. Точный вес дыни неизвестен. Однако мы знаем, что не может быть больше 50 грамм. Тогда относительная веса не превосходит 50/2000 = 2,5%.
Значение, которое изначально больше абсолютной погрешности либо в наихудшем случае ей равное, принято называть предельной абсолютной погрешностью или же границей абсолютной погрешности. В предыдущем примере этот показатель равен 50 граммам. Аналогичным образом определяется и предельная относительная погрешность, которая в рассмотренном выше примере составила 2,5%. Значение предельной погрешности не является строго заданным. Так, вместо 50 грамм мы вполне могли бы взять любое число, большее чем вес наименьшей гири, скажем 100 г или 150 г. Однако на практике выбирается минимальное значение. А если его удается точно определить, то оно и будет одновременно служить предельной погрешностью. Бывает так, что абсолютная предельная погрешность не указана. Тогда следует считать, что она равна половине единицы последнего указанного разряда (если это число) или минимальной единице деления (если инструмент). К примеру, для миллиметровой линейки этот параметр равен 0,5 мм, а для приближенного числа 3,65 абсолютное предельное отклонение равно 0,005. Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле: Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону. Относительная погрешность вычислений находится по формуле: Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами. После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Вычислим абсолютную погрешность
: Вычислим относительную погрешность:
Ответ
: Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 4 Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями. Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом: Пример 5 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание: Пример 6 Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой. Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д. Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу Записываем очевидную функцию Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики. Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам: Таким образом
: После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так! В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: Дальнейшее шаблонно:
Таким образом
: Ответ: Пример 7 Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта. Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение . Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки. Пример 8 Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а . А вот и рабочая формула: Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же ! По условию требуется найти приближенное значение функции в точке . Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели
: Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка: И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть - надо его съесть. Вычислим значение функции в точке : Дифференциал функции в точке найдём по формуле: Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке . Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке : Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке : Вычислим точное значение функции в точке : Вот это значение является абсолютно точным. Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье. Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность: Пример 9 Вычислить приближенное значение функции Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность таков а - чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой. Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока). Пример 10
Решение:
Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных: Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , . Вычислим значение функции в точке : Дифференциал в точке найдем по формуле: Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке . Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
Полный дифференциал в точке : Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527 Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ: , Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной. Пример 11 С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока. Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий - это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации: Пример 12 С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения. Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах. Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора! Решения и ответы:Пример 2 : Решение:
Используем формулу: Ответ: Пример 4: Решение:
Используем формулу: Таким образом: Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Относительная погрешность: Пример 5: Решение: Используем формулу: В данном случае: Ответ:
Пример 7: Решение:
Используем формулу: Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие. ВведениеРазберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы. Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц. За измерение длины вязли метры, массы - килограммы, объёма - кубические литры, времени - секунды, скорости - метры за секунду. При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости. Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными. Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:
В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10 6 . В простой линейке длина имеет единицу измерения - сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м. Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром - чтобы гигрометром - чтобы определять влажность, амперметром - замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток. Насколько точны будут показатели проведенных измерений?Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности. Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2». Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами: (2-1)/10 = 0,1 (см) Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора. Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений. Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность. При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления. Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров. После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см. Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление: А = а ± D (а) А - в виде величины для измерительных процессов; а - значение результата замеров; D - обозначение абсолютной погрешности. При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина. Знакомство с понятиемЕсли рассматривать в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:
Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется. Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить. При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений. Как рассчитать погрешность прямых измерений?Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение. Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании. При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях. Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой физических величин. Понятие прямого измеренияАбсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания. Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы. Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой. Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:
Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.
D = D (пр.) + D (отс.) Пример с медицинским термометромПоказатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.
D отс. = С/2 Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления: D = 0,1 o С + 0,1 o С / 2 = 0,15 o С На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. не указана. Остается только погрешность отсчета. Если цена деления шкалы этого термометра равна 2 o С, то можно измерять температуру с точностью до 1 o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений. Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах. Точность электроизмерительных приборовЧтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале. Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы. Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности - 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений. Применение знанийТаким образом, D c = c (max) Х γ /100 Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.
Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:
Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так: D U = DU (пр.)+ С/2 D U (пр.) = U (max) Х γ /100 D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В Это погрешность прибора. Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так: D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений. Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной. Учимся определять погрешность взвешиванияЭто один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.
Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку. Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу. Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.
D m = D m (весов) + D m (гирь) Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность. Применение таблицВоспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность. Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях. Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.
Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение. ИтогиВ ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности. Читайте также
Проблемная кожа лица
2024-05-20 01:03:06
Нет комментариев
Маски для волос
2024-05-20 01:03:06
Нет комментариев
Лечение
2024-05-20 01:03:06
Нет комментариев
|
с помощью дифференциала.
в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
в точке 
(формулы можно найти в той же таблице).
(при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
. Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
;
.
, ,
, абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
