Две прямые называются пересекающимися. Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

⁰

Вопрос 1

Признаки:

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые

параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые

параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°,

то прямые параллельны.

Докажем третий признак.

Билет 2

Вопрос 1

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теоремы об углах образованных при пересечении:

если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Докажем вторую теорему: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и

2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Ответ оставил Гуру

1)Первое основное свойство плоскости
Свойство 1.

Через любые две точки плоскости можно провести прямую линию и притом только одну.

Прямую, проходящую через точки А и В, мы будем называть прямой АВ.
Как видите, обозначение АВ используется в четырех случаях: оно может обозначать и отрезок, и длину отрезка, и луч, и прямую. Но никакой путаницы в наши рассуждения это не внесет, просто в каждом случае будем указывать, о чем идет речь.

Расстояние на плоскости между двумя точками А и В равно длине отрезка АВ. Кратчайший путь из А в В - это путь по прямой, соединяющей эти точки.

На самом деле первое свойство не является чисто планиметрическим фактом. Оно справедливо и для пространства.
Второе основное свойство плоскости
Свойство 2.

Любая прямая плоскости делит эту плоскость на две части - две полуплоскости.

Что означает это свойство?

Пусть в плоскости проведена некоторая прямая, которую мы обозначим буквой а. Любая точка А, не лежащая на этой прямой, находится в одной из двух образовавшихся полуплоскостей. При этом, если точки А и В расположены в разных полуплоскостях, то отрезок АВ пересекает а. Если же точки А и B находятся в одной полуплоскости, то отрезок АВ не пересекает а.

Это же можно выразить несколько иначе.

Две точки плоскости A и B, не лежащие на прямой a этой плоскости, располагаются в разных или в одной полуплоскости относительно прямой а в зависимости от того, будет ли отрезок AВ пересекаться с прямой а или нет.
Третье основное свойство плоскости
Свойство 3.

Любая прямая плоскости является осью симметрии плоскости.
Что это означает?

Как мы знаем, прямая - это линия пересечения двух плоскостей.
Отсюда следует, что при перегибании листа бумаги, представляющего собой модель плоскости, образуется прямая линия.
Это станет яснее, если немного развести части листа, получившиеся при его перегибании. Тогда мы увидим, что линия сгиба - это линия пересечения двух плоскостей.

2)Пересекающиеся прямые - этопрямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку, которуюназывают точкой пересеченияпрямых. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «?».

3)Отрезок - множество точек на прямой, расположенных между двумя точками А и В, включая сами точки А и В.Отрезок прямой, соединяющий две точки А и В (которые называютсяконцами отрезка), обозначается следующим образом - А; В в квадратных скобках. Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезокАВ» .

4)из любых двух точек, принадлежащих одному из этих подмножеств, одна лежит между другой точкой и O. Каждое из этих множеств, называетсяоткрытым лучом с началом в O.

5)Первое свойство: Длина отрезка выражается положительным числом.
Второе свойство: равные отрезки имеют равные длины.
Третье свойство: когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

6)Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину, то есть в одинаковых единицах измерения их длины выражаютсяравными числами

7)Расстоянием между точками называется длина отрезка, заключенного между этими точками.

8)Середина отрезка-это точка, которая делит данный отрезок на две равные части.

9)Если лучом называется полупрямая или часть прямой, выходящий из одной точки (начала луча) в одну сторону, то дополнительный луч - это соседний луч, выходящий из той же точки в другую сторону и лежащий на той же прямой.

10)У? гол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делитсяуглом на две области

11)Равные углы - это углы, которые имеют одинаковый угол, одинаковое количество градусов, то есть равны. Развернутый угол - это угол, имеющий стороны, составляющие прямую. Прямым углом, называется угол, имеющий ровно 90 градусов.

12)Биссектриса угла треугольника - это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называетсябиссектрисой треугольника.

1)Дайте определение параллельных прямых.Какие два отрезка называются параллельными?

2)Что такое секущая? Назовите пары углов,которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
3)Докажите,что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны,то прямые параллельны.
4)Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
5)Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
6)Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых.
7)Объясните, какие утверждения называются аксиомами.Приведите примеры аксиом.
8)Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.
9)Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
11)Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой,то они параллельны.
13)Докажите,что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
14)Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
15)Докажите,что при пересечении двух прямых параллельных прямых секущей: а) соответственно углы равны; б)сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Вопросы.Срочно!!!

1.Укажите слово,пропущенное в определение параллельных прямых
Две прямые-называются параллельными,если они не пересекаются
а)в пространстве
б)на парте
в)на доске
г)в треугольнике
д)на плоскости

2.по картинке

1)Две прямые параллельны некоторой плоскости.Могут ли эти прямые:а)Пересекаться;б)быть скрещивающимися? 2)Могут ли скрещиваться прямые a и b

быть параллельными прямой с?

3)Боковые строны трапеции параллельны плоскости альфа.Параллельны ли плоскость альфа и плоскость трапеции?

4)Две стороны параллелограмма параллельны плоскости альфа.Параллельны ли плоскость альфа и плоскость параллелограмма?

5)Могут ли быть равны два непараллельных отрезка,заключённые между параллельными плоскостями?

какие из следующих утверждений верны:1.Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65 градусов,то эти две прямые

параллельны.2. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.3.Через любую точку проходит более одной прямой.4. Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

1. какая прямая называется секущей по отношению к окружности? 2. какая прямая называется касательной к окружности? какая точка называется точкой

касания прямой и окружности? 3. сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной. 4. сформулируйте и докажите теорему обратную теореме о свойстве касательной 5. какой угол называется центральным углом окружности? 6.как определяется градусная мера дуги? как она обозначается? 7. какой угол называется вписанным? сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 8.сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающих хорд. 9.сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла. 10. какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? 11.сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку 12.сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника. 13. какая окружность называется вписанной в многоугольник? какой многоугольник называется описанным около окружности?

Две прямые на плоскости называются параллельными, если Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются Параллельность прямых обозначается знаком Пусть a и b – две прямые и c – пересекающая их третья прямая, называемая секущей. Обозначим углы, образованные этими прямыми, цифрами 1,..., 8, как показано на рисунке. они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если прямые a и b параллельны, то пишут ||. a || b. сответственными; углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими; углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними.

Теорема 1 Теорема. (Признак параллельности двух прямых.) Если при пересечении двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. Следствие 2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180 o, то эти две прямые параллельны. Следствие 3. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

Аксиома параллельных Следствие 1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. Следствие 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы составляют в сумме 180 о. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. Аксиома параллельных. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Параллельные прямые Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Параллельность прямых обозначается знаком ||. Если прямые a и b параллельны, то пишут a || b. Пусть a и b – две прямые и c – пересекающая их третья прямая, называемая секущей. Обозначим углы, образованные этими прямыми, цифрами 1, . . . , 8, как показано на рисунке. Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются сответственными; углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими; углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними.

Аксиома параллельных. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. Следствие 1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны. Следствие 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние одностронние углы составляют в сумме 180 о.

История параллельных Вопрос о количестве прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой, имеет давнюю и интересную историю. Среди аксиом в "Началах" Евклида пятый по счету постулат по своему содержанию совпадает с аксиомой параллельности: "Через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной этой прямой". На протяжении двух тысячелетий после Евклида математики пытались доказать этот постулат, однако все их попытки заканчивались неудачей, рано или поздно в их рассуждениях обнаруживались ошибки. Лишь в 1826 году великий русский геометр Н. И. Лобачевский (1792 -1856), профессор Казанского университета, предположил, что этот постулат нельзя логически вывести из других постулатов (аксиом) Евклида, т. е. нельзя доказать. Поэтому его можно взять или в качестве аксиомы, или в качестве аксиомы может быть взято другое свойство о существовании нескольких прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой. Положив в основу геометрии эту новую аксиому параллельности, Лобачевский создал совершенно новую – неевклидову геометрию, которая была названа геометрией Лобачевского.

Н. И. Лобачевский Идеи Лобачевского были настолько оригинальны и настолько противоречили так называемому здравому смыслу, что их не поняли даже крупные математики того времени. Несмотря на это, Лобачевский не отказался от своих идей. Он не только был убежден в логической непротиворечивости новой геометрии, но и твердо верил в ее применимость к исследованию реального пространства. Признание геометрии Лобачевского пришло только после его смерти. Работы Лобачевского были переведены на другие языки и изучались математиками всего мира. В настоящее время геометрия Лобачевского является неотъемлемой частью современной математики и находит применение во многих областях человеческого знания, способствует более глубокому пониманию окружающего нас мира.

Вопрос 1 Как могут располагаться на плоскости две прямые относительно друга? Ответ: Две прямые на плоскости могут иметь одну общую точку или не иметь общих точек.

Вопрос 2 Какие прямые называются параллельными? Ответ: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т. е. не имеют общих точек.

Вопрос 3 Какая прямая называется секущей двух данных прямых? Ответ: Секущей называется прямая, пересекающая две данные прямые.

Вопрос 4 Назовите соответственные углы. Ответ: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Вопрос 7 Сформулируйте признак параллельности двух прямых. Ответ: Если при пересечении двух прямых третьей прямой, внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Вопрос 8 Сформулируйте аксиому параллельных. Ответ: Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Вопрос 9 Как связаны между собой внутренние накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Равны.

Вопрос 10 Как связаны между собой соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Равны.

Вопрос 11 Как связаны между собой внутренние односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых третьей? Ответ: Составляют в сумме 180 о.

Вопрос 12 Лучи АВ и CD не имеют общих точек. Следует ли из этого, что они параллельны? Ответ: Нет.

Упражнение 5 Укажите пары параллельных прямых. Ответ: a и f, b и e, c и g, d и h, p и q.

Упражнение 7 При пересечении двух прямых третьей образуется 8 углов. Сколько из них может оказаться тупых? Ответ: 0, 2 или 4.

Упражнение 8 Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми? Ответ: Да.

Упражнение 9 Могут ли быть равны внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей? Ответ: Да.

Упражнение 10 Могут ли все углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, быть равными между собой? Ответ: Да.

Упражнение 11 Сумма внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равна 70 о. Чему равен каждый из углов? Ответ: 35 о.

Упражнение 12 Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, втрое больше одного из остальных. Найдите все углы. Ответ: 135 о, 45 о.

Упражнение 13 Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) один из углов равен 150 о; б) один из углов на 70 о больше другого. Ответ: а) 150 о, 30 о; б) 55 о, 125 о.

Упражнение 14 Разность двух внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна 30 о. Найдите эти углы. Ответ: 75 о, 105 о.

Упражнение 15 Угол АВС равен 80 о, а угол BCD равен 120 о. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Ответ: Нет.

Упражнение 16 В треугольнике АВС A = 40 о, B = 70 о. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла АВD. Будут ли прямые АС и BD параллельными? Ответ: Да.

Упражнение 17 Противоположные стороны четырехугольника АВСD попарно параллельны. Найдите величины углов этого четырехугольника, если A = 30 о. Ответ: B = 150 o, C = 30 o, D = 150 o.

Упражнение 19 Проведите луч CD, для которого сумма углов ABC и BCD равна 180 о. Ответ.