Корень n степени решение. Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
Давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «корень» и «с чем его едят». Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).
К примеру, перед нами уравнение. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом? Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)! Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ.
Дадим определение арифметическому квадратному корню.
А почему же число должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен. Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не. Может, ? Опять же, проверяем: . Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать - потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!
Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!
Однако самые внимательные уже наверняка заметили, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ». Кто-то из вас скажет, что в самом начале мы разбирали пример, подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом, ответ было и, а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, не равносильно выражению.
Из следует, что, то есть или. (Читай тему « »)
А из следует, что.
Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как, так и.
Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат .
А теперь попробуй решить такое уравнение. Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит? Начнем с самого начала - с нуля: - не подходит, двигаемся дальше - меньше трех, тоже отметаем, а что если. Проверим: - тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и, а также между и. Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции и отметим на нем решения.
Давай попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что. Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.
Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?
Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: . Таким образом, . Так чему же здесь равно искомое расстояние? Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что. Корень из двух приблизительно равен, но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.
Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до, а также уметь их распознать. К примеру, необходимо знать, что в квадрате равно, а также, наоборот, что - это в квадрате.
Уловил, что такое квадратный корень? Тогда порешай несколько примеров.
Примеры.
Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:
Ответы:
Кубический корень
Ну что же, с понятием квадратного корня вроде разобрались, теперь постараемся разобраться, что такое кубический корень и в чем их отличие.
Кубический корень из некоторого числа - это число, куб которого равен. Заметили, тут все гораздо проще? Здесь нет никаких ограничений на возможные значения как значения под знаком кубического корня, так и извлекаемого числа. То есть кубический корень можно извлечь из любого числа: .
Уловили, что такое кубический корень и как его извлекать? Тогда вперед решать примеры.
Примеры.
Ответы:
Корень - ой степени
Ну что ж, мы разобрались с понятиями квадратного и кубического корня. Теперь обобщим полученные знания понятием корень -ой степени .
Корень -ой степени из числа — это число, -ая степень которого равна, т.е.
равносильно.
Если - чётно , то:
- при отрицательном , выражение не имеет смысла (корни четной -ой степени из отрицательных чисел извлечь нельзя !);
- при неотрицательном () выражение имеет один неотрицательный корень.
Если - нечётно, то выражение имеет единственный корень при любом.
Не пугайтесь, тут действуют такие же принципы, что и с квадратными и кубическими корнями. То есть принципы, которые мы применяли при рассмотрении квадратных корней, распространяем на все корни четной -ой степени.
А те свойства, которые применяли для кубического корня, распространяются на корни нечетной -ой степени.
Ну что, стало понятней? Давайте разбираться на примерах:
Тут все более ли менее понятно: сначала смотрим - ага, степень - четная, под корнем число положительное, значит наша задача - найти такое число, четвертая степень которого даст нам. Ну, есть предположения? Может, ? Точно, !
Так, степень равна - нечетная, под корнем число отрицательное. Наша задача - найти такое число, при возведении которого в степень получается. Сразу заметить корень довольно затруднительно. Однако можно сразу сузить область поиска, правда? Во-первых, определенно искомое число отрицательно, а во-вторых, можно заметить, что - нечетное, а значит и искомое число - нечетное. Попробуй подобрать корень. Конечно же, и можно смело отметать. Может, ?
Да, это то, что мы искали! Заметь, что для упрощения расчета мы воспользовались свойствами степеней: .
Основные свойства корней
Понятно? Если нет, то рассмотрев примеры, все должно встать на свои места.
Умножение корней
Как умножать корни? На этот вопрос помогает ответить самое простое и базовое свойство:
Начнем с простенького:
Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда - вот вам такие примеры:
А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:
Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка - корень квадратный из!
Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:
Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак корня четной степени мы можем только положительные числа .
Посмотрим, где это еще может пригодиться. Например, в задаче требуют сравнить два числа:
Что больше:
Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня? Тогда вперед:
Ну и, зная, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень! Т.е. если, значит, . Отсюда твердо делаем вывод, что. И никто не убедит нас в обратном!
До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!
Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:
Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.
Вот, к примеру, такое выражение:
В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:
С этим вроде все ясно, а вот как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:
Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логики, используя свойства степеней:
Ну как, все понятно? Тогда вот такой пример:
Это подводные камни, о них всегда стоит помнить . Это фактически и есть отражение на примерах свойства:
| при нечетных: при четных и: |
Понятно? Закрепляй на примерах:
Ага, видим, корень в четной степени, отрицательное число под корнем тоже в четной степени. Ну и то же получается? А вот что:
Вот и все! Теперь вот такие примеры:
Уловил? Тогда вперед решать примеры.
Примеры.
Ответы.
Если получил ответы, то можно со спокойной душой двигаться дальше. Если нет, то давай разберемся в этих примерах:
Посмотрим на два других свойства корней:
Эти свойства обязательно надо разбирать в примерах. Ну что, займемся этим?
Разобрался? Давай закрепим.
Примеры.
Ответы.
КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Арифметический квадратный корень
Уравнение имеет два решения: и. Это числа, квадрат которых равен.
Рассмотрим уравнение. Решим его графически. Нарисуем график функции и линию на уровне. Точки пересечения этих линий и будут решениями. Видим, что и у этого уравнения два решения - одно положительное, другое отрицательное:
Но в данном случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен. При выражение не определено, т.к. нет такого числа, квадрат которого равен отрицательному числу.
Корень из квадрата: .
Например, . А из следует, что или.
Еще раз обращаю внимание, это очень важно: Квадратный корень - это всегда неотрицательное число: !
Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа: . Как видим, он может принимать и отрицательные значения.
Корень -ой степени из числа — это число, -я степень которого равна, т.е.
Если — чётно, тогда:
- если, то корень -ой степени из a не определен.
- если, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем -ой степени из и обозначается.
Если - нечётно, тогда уравнение имеет единственный корень при любом.
Ты заметил, что слева сверху от знака корня мы пишем его степень? Но только не для квадратного корня! Если видишь корень без степени, значит он квадратный (степени).
Примеры.
Основные свойства корней
КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем)
из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен
Свойства корней:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Видеоурок 2:
Свойства корня степени n > 1
Лекция: Корень степени n > 1 и его свойства
Корень
Предположим, Вы имеете уравнение вида:
Решением данного уравнения будет х 1 = 2 и х 2 = (-2). В качестве ответа подходят оба решения, поскольку числа с равными модулями при возведении в четную степень дают одинаковый результат.
Это был простой пример, однако, что мы можем сделать в том случае, если, например,
Давайте попробуем построить график функции y=x 2 . Её графиком является парабола:
На графике необходимо найти точки, которым соответствует значение у = 3. Данными точками является:
Это означает, что данное значение нельзя назвать целым числом, но можно представить в виде корня квадратного.
Любой корень - это иррациональное число . К иррациональным числам относятся корни, непериодические бесконечные дроби.
Квадратный корень - это неотрицательное число "а", подкоренное выражение которого равно данному числу "а" в квадрате.
Например,
То есть в результате мы получим только положительное значение. Однако в качестве решения квадратного уравнения вида
Решением будет х 1 = 4, х 2 = (-4).
Свойства квадратного корня
1. Какое бы значение не принимала величина x, данное выражение верно в любом случае:
2. Сравнение чисел, содержащих квадратный корень. Чтобы сравнить данные числа, необходимо и одно, и второе число внести под знак корня. То число будет больше, чье подкоренное выражение больше.
Вносим число 2 под знак корня
А теперь давайте внесем число 4 под знак корня. В результате этого получим
И только теперь два полученных выражения можно сравнить:
3. Вынесение множителя из под корня.
Если подкоренное выражение может разложиться на два множителя, один из которых можно вынести из под знака корня, то необходимо пользоваться данным правилом.
4. Существует свойство, обратное данному - внесение множителя под корень. Этим свойством мы заведомо воспользовались во втором свойстве.
Сценарий урока в 11 классе по теме:
« Корень n-й степени из действительного числа. »
Цель урока: Формирование у учащихся целостного представления о корне n -ой степени и арифметического корень n-ой степени, формирование вычислительных навыков, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач, содержащих радикал. Проверить уровень усвоения учащимися вопросов темы.
Предметные: создать содержательные и организационные условия для усвоения материала по теме « Числовые и буквенные выражения» на уровне восприятия осмысления и первичного запоминания; формировать умения применять данные сведения при вычислении корня n-й степени из действительного числа;
Метопредметные: способствовать развитию вычислительных навыков; умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
Личностные: воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать ответы других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству.
Планируемый результат.
Предметные: уметь в процессе реальной ситуации применять свойства корня n-й степени из действительного числа при вычислении корней, решении уравнений.
Личностные: формировать внимательность и аккуратность в вычислениях, требовательное отношение к себе и к своей работе, воспитывать чувство взаимопомощи.
Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Мотивация к учебной деятельности:
Восточная мудрость гласит: «Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить». И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он сам не старается узнать больше, не имеет желания работать над своим умственным развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью.
Наш урок пройдёт под девизом: «Покорим любую вершину, если будем к ней стремиться». Нам с вами в течение урока нужно успеть преодолеть несколько вершин, и каждый из вас должен вложить все свои усилия, чтобы покорить эти вершины.
«Сегодня у нас урок, на котором мы должны познакомиться с новым понятием: « Корень n-й степени» и научиться применять это понятие к преобразованию различных выражений.
Ваша цель – на основе различных форм работы активизировать имеющиеся знания, внести свой вклад в изучение материала и получить хорошие оценки»
Корень квадратный из действительного числа мы с вами изучали в 8 классе. Корень квадратный связан с функцией вида y
=x
2 . Ребята, вы помните, как мы вычисляли корни квадратные, и какие у него были свойства?
а) индивидуальный опрос: 
что это за выражение
что называется квадратным корнем
что называется арифметическим квадратным корнем
перечислите свойства квадратного корня
б) работа в парах: вычислите.
-
2. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации: Решите уравнение x 4 =1 . Как мы его можем решить? (Аналитически и графически). Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х 4 прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках: А (-1;1) и B(1;1). Абсциссы точек А и B, т.е. х 1 = -1,
х 2 = 1, являются корнями уравнения х 4 = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х 4 =16: А теперь попробуем решить уравнение х 4 =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x 1 и x 2 , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х 4 =5 имеются проблемы: по чертежу мы не можем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй - правее точки 1.
х 2 = - (читается: «корень четвертой степени из пяти»).
Мы говорили об уравнении х 4 = а, где а 0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х 4 =а, где а 0, а n - любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х 5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х 5 " = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень х 1 , который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа х 1 введем обозначение .
Определение 1. Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.
Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n - показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят "«корень квадратный». В этом случае не пишут Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.
Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в курсе алгебры 9-го класса.
Итак, если а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.
Вообще, =b и b n =а - одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и b, но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.
Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:
Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6) 6 =36 - верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что нельзя. По определению - положительное число, значит = 6 (а не -6). Точно так же, хотя и 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходя к знакам корней, мы должны написать = 2 (и в то же время ≠-2).
Иногда выражение называют радикалом (от латинского слова гаdix - «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» - это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ - это стилизованная буква r.
Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2) 5 = -32 можно переписать в эквивалентной форме как =-2. При этом используется следующее определение.
Определение 2. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.
Это число, как и в определении 1, обозначают , число а - подкоренное число, число n - показатель корня.
Итак, если а , n=,5,7,…,то: 1) 0; 2) () n = а.
Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.
5. Первичное закрепление знаний:
1. Вычислить: № № 33.5; 33.6; 33.74 33.8 устно а) ; б) ; в) ; г) .
г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2 4 =16 (это меньше, чем 17), а З 4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства:
2.
Найти значения следующих выражений.
Поставить около примера соответствующую букву.
Небольшая информация о великом учёном. Рене Декарт (1596-1650) французский дворянин, математик, философ, физиолог, мыслитель. Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии, ввел буквенные обозначения x 2 , y 3 . Всем известны декартовы координаты, определяющие функцию переменной величины.
3 . Решить уравнения: а) = -2; б) = 1; в) = -4
Решение: а) Если = -2, то y = -8. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим: 3х+4= - 8; 3х= -12; х = -4. б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим: х=1.
в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени - неотрицательное число.
Вашему вниманию предложено несколько заданий. Когда вы выполните эти задания, вы узнаете имя и фамилию великого учёного-математика. Этот учёный в 1637 г первым ввел знак корня.
6. Давайте немного отдохнём.
Поднимает руки класс - это «раз».
Повернулась голова – это «два».
Руки вниз, вперёд смотри – это «три».
Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,
С силой их к рукам прижать –это «пять».
Всем ребятам надо сесть –это «шесть».
вариант: 2 вариант:
б) 3-. б)12 -6 .
2. Решите уравнение: а) х 4 = -16; б) 0,02х 6 -1,28=0; а) х 8 = -3; б)0,3х 9 – 2,4=0;
в) = -2; в)= 2
8. Повторение: Найдите корень уравнения = - х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ впишите меньший из корней.
9. Рефлексия: Чему вы научились на уроке? Что было интересным? Что было трудным?
Урок и презентация на тему: "Свойства корня n-ой степени. Теоремы"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"
Свойства корня n-ой степени. Теоремы
Ребята, мы продолжаем изучать корни n-ой степени из действительного числа. Как практически все математические объекты, корни n-ой степени обладают некоторыми свойствами, сегодня мы будем их изучать.Все свойства, которые мы рассмотрим, формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаком корня.
В случае нечетного показателя корня они выполняются и для отрицательных переменных.
Теорема 1. Корень n-ой степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-ой степени этих чисел: $\sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}$ .
Давайте докажем теорему.
Доказательство. Ребята, для доказательства теоремы давайте введем новые переменные, обозначим:
$\sqrt[n]{a*b}=x$.
$\sqrt[n]{a}=y$.
$\sqrt[n]{b}=z$.
Нам надо доказать, что $x=y*z$.
Заметим, что выполняются и такие тождества:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Тогда выполняется и такое тождество: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Степени двух неотрицательных чисел и их показатели равны, тогда и сами основания степеней равны. Значит $x=y*z$, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если $а≥0$, $b>0$ и n – натуральное число, которое большее 1, тогда выполняется следующее равенство: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ .
То есть корень n-ой степени частного равен частному корней n-ой степени.
Доказательство.
Для доказательства воспользуемся упрощенной схемой в виде таблицы:
Примеры вычисления корня n-ой степени
Пример.Вычислить: $\sqrt{16*81*256}$.
Решение. Воспользуемся теоремой 1: $\sqrt{16*81*256}=\sqrt{16}*\sqrt{81}*\sqrt{256}=2*3*4=24$.
Пример.
Вычислить: $\sqrt{7\frac{19}{32}}$.
Решение. Представим подкоренное выражение в виде неправильной дроби: $7\frac{19}{32}=\frac{7*32+19}{32}=\frac{243}{32}$.
Воспользуемся теоремой 2: $\sqrt{\frac{243}{32}}=\frac{\sqrt{243}}{\sqrt{32}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.
Пример.
Вычислить:
а) $\sqrt{24}*\sqrt{54}$.
б) $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{4}}$.
Решение:
а) $\sqrt{24}*\sqrt{54}=\sqrt{24*54}=\sqrt{8*3*2*27}=\sqrt{16*81}=\sqrt{16}*\sqrt{81}=2*3=6$.
б) $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{256}{4}}=\sqrt{64}=24$.
Теорема 3. Если $a≥0$, k и n – натуральные числа больше 1, то справедливо равенство: $(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k}$.
Чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Доказательство.
Давайте рассмотрим частный случай для $k=3$. Воспользуемся теоремой 1.
$(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{a*a*a}=\sqrt[n]{a^3}$.
Так же можно доказать и для любого другого случая. Ребята, докажите сами для случая, когда $k=4$ и $k=6$.
Теорема 4. Если $a≥0$ b n,k – натуральные числа большие 1, то справедливо равенство: $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt{a}$.
Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Доказательство.
Докажем опять кратко, используя таблицу.
Для доказательства воспользуемся упрощенной схемой в виде таблицы:
Пример.
$\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$.
$\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$.
$\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$.
Теорема 5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить на одно и тоже натуральное число, то значение корня не изменится: $\sqrt{a^{kp}}=\sqrt[n]{a}$.
Доказательство.
Принцип доказательства нашей теоремы такой же, как и в других примерах. Введем новые переменные:
$\sqrt{a^{k*p}}=x=>a^{k*p}=x^{n*p}$ (по определению).
$\sqrt[n]{a^k}=y=>y^n=a^k$ (по определению).
Последнее равенство возведем в степень p
$(y^n)^p=y^{n*p}=(a^k)^p=a^{k*p}$.
Получили:
$y^{n*p}=a^{k*p}=x^{n*p}=>x=y$.
То есть $\sqrt{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^k}$, что и требовалось доказать.
Примеры:
$\sqrt{a^5}=\sqrt{a}$ (разделили показатели на 5).
$\sqrt{a^{22}}=\sqrt{a^{11}}$ (разделили показатели на 2).
$\sqrt{a^4}=\sqrt{a^{12}}$ (умножили показатели на 3).
Пример.
Выполнить действия: $\sqrt{a}*\sqrt{a}$.
Решение.
Показатели корней - это разные числа, поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 1, но применив теорему 5, мы можем получить равные показатели.
$\sqrt{a}=\sqrt{a^3}$ (умножили показатели на 3).
$\sqrt{a}=\sqrt{a^4}$ (умножили показатели на 4).
$\sqrt{a}*\sqrt{a}=\sqrt{a^3}*\sqrt{a^4}=\sqrt{a^3*a^4}=\sqrt{a^7}$.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить: $\sqrt{32*243*1024}$.2. Вычислить: $\sqrt{7\frac{58}{81}}$.
3. Вычислить:
а) $\sqrt{81}*\sqrt{72}$.
б) $\frac{\sqrt{1215}}{\sqrt{5}}$.
4. Упростить:
а) $\sqrt{\sqrt{a}}$.
б) $\sqrt{\sqrt{a}}$.
в) $\sqrt{\sqrt{a}}$.
5. Выполнить действия: $\sqrt{a^2}*\sqrt{a^4}$.
