Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.
Навигация по странице.
Связь между синусом и косинусом одного угла
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.
То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.
Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .
Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .
Связь между тангенсом и котангенсом
Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.
Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .
Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .
«Теорема синусов и косинусов» - 1) Запишите теорему синусов для данного треугольника: Найдите угол В. Запишите формулу для вычисления: Теорема синусов: Найдите длину стороны ВС. Теоремы синусов и косинусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК: Самостоятельная работа:
«Решение тригонометрических неравенств» - Все значения y на промежутке MN. 1. Строим графики функций: Остальные промежутки. Прямая y=-1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. бесконечного множества промежутков. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2,
«Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы сложения. По тригонометрическим функциям угла?. Формулы двойных углов. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить.
«Решение простейших тригонометрических неравенств» - cos x. Методы решения тригонометрических неравенств. sin x. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции. Решение простейших тригонометрических неравенств.
«Sin и cos» - Верно ли,что косинус 6,5 больше нуля? Синус 60° равен?? Верно ли что соs? х - siп? х = 1? Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса… Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Абсцисса точки на единичной окружности. Отношение косинуса к синусу…
«Теорема косинусов для треугольника» - Устная работа. Неизвестные элементы. Треугольник. Квадрат стороны треугольника. Сформулируйте теорему косинусов. Теорема. Теорема косинусов. Решение задач на клеточной бумаге. Углы и стороны. Сформулировать теорему косинусов. Задачи по готовым чертежам. Данные, указанные на рисунке.
Всего в теме 21 презентация
Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель:
изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо:
- Знать:
- формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.
- Понимать:
- что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
- Применить:
- умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
- Анализ:
- анализировать ошибки в логике рассуждения.
- Синтез:
- предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.
- Оценка:
- знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
- Актуализация знаний и умений.
- В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?
- Какое слово пропущено в определение функции синус?
- Какое слово пропущено в определении функции косинус?
- Какие значения может принимать синус?
()
- Объяснение нового материала.
где – абсцисса точки В, – ее ордината. Отсюда следует, что Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению
Воспользовавшись тем, что получим
(1). Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством. В равенстве (1) может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись:
1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2. Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ:
Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3. В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем).
Пример 1 . Вычислить
если
Определим четверть, в которой находится угол . Четверть – III. Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »: Пример 2. Вычислить
если
Определяем четверть, в которой находится угол . Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »:
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса
Перемножая эти равенства, получаем:
Из равенства (4) можно выразить
через
и наоборот:
Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых
имеют смысл, т. е. при
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента. Разделив обе части равенства (1) на
, получим:
т.е.
Если обе части равенства (1) разделить на
, то будем иметь:
т.е.
Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1. Найдем если известно, что
Решение:
- Для отыскания котангенса угла
удобно воспользоваться формулой (6):
Ответ:
Пример2. Известно, что
. Найдем все остальные тригонометрические функции. Решение:
- Воспользуемся формулой (7).
Имеем:
,
. По условию задачи угол является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит
Ответ:
Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения.
Пример 3. Упростим выражение:
Решение: Воспользуемся формулами:
. Получим:
- Закрепление.
А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
4 вариант
А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4. По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.
- Домашнее задание.
- Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)
А синуса график волна за волной
По оси абсцисс убегает.Из студенческой песни.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:
- ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.
- РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..
- ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.
ЗДОРОВЬЕ СБЕРЕГАЮЩАЯ: создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ УРОКА:
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА: кабинет математики.
ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы, компьютер, диски, экран, проектор.
МЕТОДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: групповая и индивидуальная работа за партой и у доски.
ТИП УРОКА: урок усвоения новых знаний.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.
2. Проверка готовности учащихся к уроку: настрой учащихся на работу, доведение до них плана урока.
3. Анализ ошибок домашнего задания. На экране - картинка с верно выполненным домашним заданием. Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным объяснением и отмечает правильность выполнения в рабочей карте урока.
РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА.
С/о – самооценка.
О/т – оценка товарища.
4. Актуализация знаний, подготовка к восприятию нового материала.
Следующий этап нашего урока-диктант. Записываем кратко ответы – чертеж у нас на слайде.
Диктант (устное повторение необходимых сведений):
1. Дайте определение:
- синуса острого угла А прямоугольного треугольника;
- косинуса острого угла В прямоугольного треугольника;
- тангенса острого угла А прямоугольного треугольника;
- котангенса острого угла В прямоугольного треугольника;
- какие ограничения накладываем мы на синус и косинус при определении тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.
2. Дайте определение:
- синуса угла a a .
- косинуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a .
- тангенса угла a .
- котангенса угла a .
3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов, полученных поворотом точки Р(1;0) на угол
4. Для всех этих углов указать четверти координатной плоскости.
Ребята проверяют диктант по слайду вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока.
5. Из истории тригонометрии. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал формулы приведения, с которыми вам еще предстоит встретиться, выделил классы четных и нечетных функций.
6. Введение нового материала:
Главное не просто сообщить учащимся конечные выводы, а сделать учащихся как бы участниками научного поиска: поставив вопрос, так, чтобы они, разбудив свою любознательность, включились в исследование, что способствует достижению более высокого уровня умственного развития учащихся.
Поэтому при введении нового материала я создаю проблемную ситуацию – как легче и рациональней установить зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла – через уравнение единичной окружности или через теорему Пифагора.
Класс разбивается по вариантам на первый и второй вариант – на экране слайд с условием и чертежами, решения пока нет.
1 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1x 2 +y 2 =1; sin 2 +cos 2 =1.
2 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через теорему Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OB 2 +AB 2 =OA 2 - и получаем sin 2 +cos 2 =1.
Сравнивают результаты, делают выводы: главный – равенство выполняется при любых значениях входящих в него букв? Ученики должны ответить, что это тождество
(на слайде показывается верное решение, как для первого, так и для второго вариантов).
Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества.
Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем в алгебре – формулы сокращенного умножения:
a 2 -b 2 =(a-b)(a+b),
(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ,
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 ,
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 ,
a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2),
a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2).
Следующая проблема – а для чего мы вывели основное тригонометрическое тождество – sin 2 +cos 2 =1.
Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса, косинуса или тангенса – значений всех остальных функций.
Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.
Применение полученных знаний:
1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла.
2 вариант – выразить косинус через синус угла. На слайде верный ответ
Вопрос учителя – никто не забыл проставить знаки +и - ? Каким может быть угол? – любым.
В этих формулах знак перед корнем зависит от чего? от того, в какой четверти расположен угол (аргумент) тригонометрической функции, которую мы определяем.
Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант - 1, 2-й вариант - 2.
На слайде – верное решение.
Самостоятельная работа на узнавание основного тригонометрического тождества
1. найти значение выражения:
2. выразить число 1 через угол a , если
Идет взаимопроверка – по готовому слайду и оценивание работ – как самооценкой, так и оценкой товарища.
6. Закрепление нового материала (по технологии Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач).
ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если ………………………………………………………………….
1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с правильным решением.
ЗАДАЧА 2. Вычислить……………., если………………………………………………………………..
2-й ученик у доски, затем слайд с верным решением.
7. Физкультминутка.Я знаю, что вы уже взрослые и считаете, что совсем не устали, особенно сейчас, когда урок идет так активно, что время для нас как –бы и удлиняется– по теории относительности А.Эйнштейна, но давайте проведем гимнастику для сосудов головного мозга:
- повороты и наклоны головы вправо – влево, вверх – вниз
- массаж плечевого пояса и кожи головы – руки от кисти, лицо и затылок – сверху вниз.
- плечи поднять вверх и расслабленно “сбросить” вниз. Каждое упражнение выполняем 5-6 раз!
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом………………………………………………………………………………………………………
Идет новое исследование на тему – каким может быть угол во втором тригонометрическом тождестве?
ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
3-й ученик у доски. Равенства справедливы при……………………….
ЗАДАЧА3. Вычислить………, если………………………….
ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если ………………………………………………………………
Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях.
1 ОПОРА………………………………………………………………………………………………
2 ОПОРА………………………………………………………………………………………………
3 ОПОРА. Применение основного тригонометрического тождества к решению задач.
8. Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то: “Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.
Для проверки знаний по данной теме вам предлагается кроссворд.
- Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса, тангенса…
- Абсцисса точки на единичной окружности.
- Отношение косинуса к синусу.
- Синус – это…..точки на единичной окружности.
- Равенство не требующее доказательства и верное при любых значениях входящих в него букв. Называется……
Проверив кроссворд, ребята выставляют себе оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет оценки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – средний балл за работу на уроке.
9. Инструктаж учителя по выполнению домашнего задания.
10. Подведение учителем итогов урока.
11. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459 (четные), 460 (четные), 463*(4). Учебник Ш.А Алимов “Алгебра и начала анализа”., 10-11, “Просвещение”., М., 2005г.