Конспект урока по математике "тригонометрические формулы". Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Открытый урок по алгебре и началам анализа по теме: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла» (10 класс)
Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения
Образовательная : вывод формул зависимости между синусом и косинусом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса по заданному значению одного из них.
Развивающая : учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки
Воспитательная: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям, воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Здоровье-сберегающая : создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.
Знания и умения: определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса); знаков тригонометрических функций по четвертям; множества значений тригонометрических функций; основных формул тригонометрии. У мение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; работать с простыми дробями; выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Ход урока
Организационный момент:
Проверить готовность учащихся к уроку. Открытие на компьютерах сайта учителя(Приложение 1).
Устная работа по пройденной теме : «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
На доске:
Задание:
Расставить номера четвертей координатной плоскости и определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Самостоятельная работа по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
Учащиеся открывают на сайте раздел «Задания к уроку по тригонометрии». Самопроверка
(Учащиеся выполняют задание №1, проверяют свои работы и оцениваю себя)
Объяснение нового материала
На доске:
х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …
y = … α, … ≤ sin α≤ … ctg α = , α≠ …
Задание: дописать формулы
Учитель : «Мы с вами изучили каждое понятие отдельно. Как вы считаете какую тему далее логично изучить?»
( Предполагаемый ответ: «Зависимость между этими понятиями»)
Формулируется тема урока: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла»
Учитель : «Есть несколько путей решения этой проблемы»
Используя уравнение единичной окружностиИспользуя теорему Пифагора
Учитель : «Давайте рассмотрим оба и выберем наиболее рациональный»
На доске:
Учащиеся выводят равенство cos 2 α + sin 2 α = 1
Учитель : «Мы получили равенство справедливое при любых значениях, входящих в него букв. Как называют такие равенства?»
( Предполагаемый ответ : тождества)
Учитель : «Вспомните, как называется тождество cos 2 α + sin 2 α = 1 »
Закрепление изученного материала
А) Учитель: «Откройте учебник стр.147, № 457(2;4)»(вызванные учащиеся решают у доски)
Б) Учитель: «Приступите к выполнению задания №2. Работаем по вариантам» (Обсуждение полученных результатов)
На доске:
1 вариант 2 вариант
Учитель: «В данных формулах перед корнем стоят знаки « ±» . От чего зависит какой знак ставить в формуле?»
(Предполагаемый ответ: «От того, в какой четверти расположен угол поворота точки P(1;0)»)
В) Учитель: «Приступите к выполнению задания №3». (Учащиеся решают задания, проверка на доске)
Подведение итогов урока
Учитель: «Молодцы! Итог урока мы подведем с помощью кроссворда» (Задание 4) (Учащиеся работают в парах за компьютером)
7) Рефлексия в форме анкетирования (приложение 2)
Учитель: «Сделайте вывод о своей работе на уроке, заполнив тест».
§25, №456, 457(1;3),460(1;3).
Доклад
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: Так как pi Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов. По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1. Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим: Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k. Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом. Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы. Получим следующее равенство ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Разделив почленно получаем: Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a) не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k, при любом целом k. Тригонометрические тождества
— это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая. tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот. При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке. tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y
является синус, а абсциссой x
— косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
, а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
— будет являться котангенсом. Добавим, что только для таких углов \alpha
, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
. Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
является справедливой для углов \alpha
, которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z
, а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
— для угла \alpha
, отличного от \pi z
, z
— является целым числом. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha
, которые отличны от \frac{\pi}{2} z
. Иначе или котангенс или тангенс не будут определены. Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x}
, а ctg \alpha=\frac{x}{y}
. Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1
. Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами. tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha}
— сумма квадрата тангенса угла \alpha
и 1
, равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha
, отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z
. 1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha}
— сумма 1
и квадрат котангенса угла \alpha
, равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha
, отличного от \pi z
. Найдите \sin \alpha
и tg \alpha
, если \cos \alpha=-\frac12
и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
; Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha
и \cos \alpha
связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1
. Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12
, получим: \sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2
решения: \sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
. Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2}
. Для того, чтобы найти tg \alpha
, воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Найдите \cos \alpha
и ctg \alpha
, если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
. Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1
данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2}
, получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1
. Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14
. По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12
. Для того, чтобы найти ctg \alpha
, воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
. Соответствующие величины нам известны. ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3}
. «Теорема синусов и косинусов» - 1) Запишите теорему синусов для данного треугольника: Найдите угол В. Запишите формулу для вычисления: Теорема синусов: Найдите длину стороны ВС. Теоремы синусов и косинусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК: Самостоятельная работа: «Решение тригонометрических неравенств» - Все значения y на промежутке MN. 1. Строим графики функций: Остальные промежутки. Прямая y=-1/2 пересекает синусоиду в бесконечном числе точек, а тригонометрический круг - в точке А. бесконечного множества промежутков. А на синусоиде, ближайший к началу координат промежуток значений x, при которых sinx>-1/2, «Тригонометрические формулы» - Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы сложения. По тригонометрическим функциям угла?. Формулы двойных углов. Сложив почленно равенства (3) и (4), получим: Выведем вспомогательные формулы, позволяющие находить. «Решение простейших тригонометрических неравенств» - cos x. Методы решения тригонометрических неравенств. sin x. Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в аргументе тригонометрической функции. Решение простейших тригонометрических неравенств. «Sin и cos» - Верно ли,что косинус 6,5 больше нуля? Синус 60° равен?? Верно ли что соs? х - siп? х = 1? Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса… Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Абсцисса точки на единичной окружности. Отношение косинуса к синусу… «Теорема косинусов для треугольника» - Устная работа. Неизвестные элементы. Треугольник. Квадрат стороны треугольника. Сформулируйте теорему косинусов. Теорема. Теорема косинусов. Решение задач на клеточной бумаге. Углы и стороны. Сформулировать теорему косинусов. Задачи по готовым чертежам. Данные, указанные на рисунке. Всего в теме
21 презентацияСоотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
Зависимость между тангенсом и котангенсом
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Пример 2
