Применение интеграла в жизни человека. Повторение теоретического материала

⁰

Понятие интеграла широко применимо в жизни. Интегралы применяется в различных областях науки и техники. Основными задачами, вычисляемыми с помощью интегралов являются задачи на:

1. Нахождение объема тела

2. Нахождение центра масс тела.

Рассмотрим каждую из них более подробно. Здесь и далее, для обозначения определенного интеграла от некоторой функции f(x), с пределами интегрирования от a до b, будем использовать следующую запись ∫ a b f(x) .

Нахождение объема тела

Рассмотрим следующий рисунок. Допустим, имеется некоторое тело, объем которого равен V. Так же имеется прямая такая, что если мы возьмем некоторую плоскость, перпендикулярную этой прямой, на будет известна площадь сечения S данного тела этой плоскостью.

Каждая такая плоскость будет перпендикуляра оси Ох, а следовательно будет пересекать её в некоторой точке х. То есть каждой точке х, из отрезка будет поставлена в соответствие число S(x) - площадь сечения тела плоскость проходящей через эту точку.

Получается, на отрезке будет задана некоторая функция S(x). Если эта функция будет непрерывна на этом отрезке, то будет справедлива следующая формула:

V = ∫ a b S(x)dx.

Доказательство этого утверждения выходит за рамки программы школьного курса.

Вычисление центра масс тела

Центр масс чаще всего используется в физике. Например, есть некоторое тело которое движется с какой-либо скорость. Но большое тело рассматривать неудобно, и поэтому в физике рассматривается это тело, как движение точки, в предположении, что эта точка имеет такую же массу, как и все тело.

А задача вычисления цетра масс тела, является основной в этом вопросе. Потому как тело-то большое, и какую именно точку надо взять за центр масс? Может быть ту, которая находится в середине тела? Или может саму ближнюю точку к переднему краю? Тут приходит на помощь интегрирование.

Для нахождения центра масс используется следующие два правила:

1. Координата x’ центра масс некоторой системы материальных точек A1, A2,A3, … An с массами m1,m2,m3, … mn соответственно расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2, x3, … xn находится последующей формуле:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть рассматриваемой фигуры заменить на материальную точку, при этом поместив ее в центр масс этой отдельной части фигуры, а массу взять равную массе этой части фигуры.

Например, если вдоль стержня - отрезка оси Ох распределена масса плотностью p(x), где p(x) есть непрерывная функция, то координата центра масс x’ будет равняться.

ИНТЕГРАЛ. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.

Курсовая работа по математике

Введение

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решил исследовать интеграл и его применение.

§1. История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга”
круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)
Символ o введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Другие известные ермины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = o f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.
b
А o f(x)dx
a
называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.
С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
S = a f(x)dx
a бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.
Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.
Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.
S = S 1 = c (b – а).
Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф 1 и Ф 2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф 1 и Ф 2 равны.
Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.
В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = х n , где п - целое (т.е по существу вывел формулу o х n dx = (1/n+1)х n+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.
Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Я. Хинчинчиным (1894-1959).

§2. Определение и свойства интеграла

Если F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CIR.
Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается o f(x)dx.
o f(x)dx = F(x)+C, где F(x) – некоторая первообразная на промежутке J.
f – подынтегральная функция, f(x) – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

o f(x)dx = F(x)+C, где F ?(x) = f(x)
(o f(x)dx) ?= (F(x)+C) ?= f(x)

если k – постоянная и F ?(x)=f(x),
o k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C 1)= k o f?(x)dx

o (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = o dx =
= o ?dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= o f(x)dx + o g(x)dx +...+ o h(x)dx, где C=C 1 +C 2 +C 3 +...+C n .

Интегрирование

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:
1.
Пусть 3x 2 –1=t (t?0), возьмем производную от обеих частей:
6xdx = dt
xdx=dt/6

2.
o sin x cos 3 x dx = o – t 3 dt = + C
Пусть cos x = t
-sin x dx = dt

Примеры:

o x 4 +3x 2 +1 o 1 1
o---- dx = o(x 2 +2 – --–) dx = - x 2 + 2x – arctg x + C
o x 2 +1 o x 2 +1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.
(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x)
u’(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v’(x)
Проинтегрируем обе части
o u’(x)v(x)dx=o (u(x)v(x))’dx – o u(x)v’(x)dx
o u’(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – o u(x)v’(x)dx

Пример:

x = u(x)cos x = v’(x)

§3. Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Дано: f(x)– непрерывная неопр. функция, xI.
Доказать: S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная f(x).
Доказательство:

D x ® 0 со сторонами Dx и f(x 0)
S’(x 0) = lim(Dx f(x 0) /Dx) = lim f(x 0)=f(x 0): т.к. x0 точка, то S(x) –
D x ® 0 D x ® 0 первообразная f(x).
Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

C = –Fa

II.

Предел этой суммы называют определенным интегралом.
b
S тр =o f(x)dx
a
Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.
Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке при n®?. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.
a - нижний предел интегрирования;
b - верхний.

Формула Ньютона–Лейбница

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:
если F – первообразная для b на , то
b
o f(x)dx = F(b)–F(a)
a
b b
o f(x)dx = F(x) o = F(b) – F(a)
a a

§4. Набор стандартных картинок

b b
S=o f(x)dx + o g(x)dx
a a

§5. Применение интеграла

I. В физике

Работа силы (A=FScosa, cosa ? 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно
d(mu 2 /2) = Fds
приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина
dA=Fds
называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S 1 (a) в S 2 (b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна f(a)(x 1 –a). Аналогично на втором отрезке f(x 1)(x 2 –x 1), на n-ом отрезке - f(x n–1)(b–x n–1). Следовательно работа на равна:

А » A n = f(a)Dx +f(x 1)Dx+...+f(x n–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x 1)+...+f(x n– 1))
Приблизительное равенство переходит в точное при n®?
b
А = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(x n–1))= o f(x)dx (по определению)
n ®? a

Пример 1:
Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой –F(s) упругость пружины при её сжатии, то
l/2
E п = A= – o (–F(s)) dx
0
Из курса механики известно, что F(s)= –Cs.
Отсюда находим
l/2 l/2
Е п = – o (–Cs)ds = CS 2 /2 | = C/2 l 2 /4
0 0
Ответ: Cl 2 /8.

Пример 2:
Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.
Решение:
Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на x, равна X=kx. Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если x=0,01 м, то X=1 Н, следовательно, k=1/0,01=100 и X=100x. Тогда
(Дж)
Ответ: A=0,08 Дж

Пример 3:
С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совершится, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м? Плотность железобетона 2500 кг/м 3 , плотность воды 1000 кг/м 3 .
Решение:
y
0

Высота тетраэдра м, объем тетраэдра м 3 . Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен
(Дж).
Теперь найдем работу A i при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+y, тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равна, а вес тетраэдра:
.
Следовательно,

(Дж).
Отсюда A=A 0 +A 1 =7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж
Ответ: A=9,31 (Дж).

Пример 4:
Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длинной a и шириной b (a>b), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом? и ее большая сторона находится на глубине h?

Ответ: P= .

Координаты центра масс

Центр масс – точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.
Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a?x?b; 0?y?f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:
b b
x 0 = (1/S) o x f(x) dx; y 0 = (1/2S) o f 2 (x) dx;
a a

Пример 1:
Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.
Изобразим полукруг в системе координат OXY.

R R
y = (1/2S) oO(R 2 –x 2)dx = (1/pR 2) oO(R 2 –x 2)dx =
–R –R
R
= (1/pR 2)(R 2 x–x 3 /3)|= 4R/3p
– R
Ответ: M(0; 4R/3p).

Пример 2:
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x=acost, y=bsint, расположенной в I четверти, и осями координат.
Решение:
В I четверти при возрастании x от 0 до a величина t убывает от?/2 до 0, поэтому

Воспользовавшись формулой площади эллипса S=?ab, получим

Путь, пройденный материальной точкой
Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t 2 –t 1 (t 2 >t 1) прошла путь S, то
t2
S = o u(t)dt.
t 1

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).
Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Найдем формулу для вычисления объёма:

V=V 1 +V 2 +...+V n =lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx
n ®?
Dx®0, а S k ®S k+1 , а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра V ц =S осн H.
Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®? называется интегралом

A
V = o S(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через
b выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:
1) Выбрать удобным способом ось ОХ.
2) Определить границы расположения этого тела относительно оси.
3) Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.
4) Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.
5) Составить интеграл.
6) Вычислив интеграл, найти объем.

Пример 1:
Найти объем трехосного эллипса.

Решение:
Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс

С полуосями и.
Найдем площадь этого сечения
.
Найдем объем эллипса:

Пример 2:
Найти объем тела, в основании которого лежит равнобедренный треугольник с высотой h и основанием a. Поперечное сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента.

Решение:
Имеем, Выразим площадь поперечного сечения как функцию от z, для чего предварительно найдем уравнение параболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих треугольников, а именно:
т.е. . Положим, тогда уравнение параболы в системе координат uKv примет вид. Отсюда находим площадь поперечного сечения данного тела:
или.
Таким образом, .
Ответ:
Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.
Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.
S сеч = pr 2
S сеч (x)=p f 2 (x)

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xI можно найти по формуле:

Пример 1:
Найти длину дуги кривой от x=0 до x=1 (y?0)
Решение:
Дифференцируя уравнение кривой, найдем. Таким образом,
.
Ответ: .

Заключение
Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.
Литература

Владимир 2002 год

Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики

Вступление

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р у л л и (1690 г.) Вероятн о, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводи ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инт грал иное: слово integer означает целый.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что в е первообразные функции отличаются на произвольн ю постоянн ю. b

называют определенным интегралом (обо начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертика ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равн ю бесконечно малой величине f(х) . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b – а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезн м при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Ч бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Ознакомление с историей понятия интеграла. Распространение интегрального исчисления, открытие формулы Ньютона–Лейбница. Символ суммы; расширение понятия суммы. Описание необходимости выражения всех физических явлений в виде математической формулы.

презентация , добавлен 26.01.2015

Идеи интегрального исчисления в работах древних математиков. Особенности метода исчерпывания. История нахождения формулы объема тора Кеплера. Теоретическое обоснование принципа интегрального исчисления (принцип Кавальери). Понятие определенного интеграла.

презентация , добавлен 05.07.2016

История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.

курсовая работа , добавлен 16.10.2013

Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.

контрольная работа , добавлен 23.02.2011

Условия существования определенного интеграла. Приложение интегрального исчисления. Интегральное исчисление в геометрии. Механические приложение определенного интеграла. Интегральное исчисление в биологии. Интегральное исчисление в экономике.

курсовая работа , добавлен 21.01.2008

История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.

реферат , добавлен 07.09.2009

Понятие интеграла Стилтьеса. Общие условия существования интеграла Стилтьеса, классы случаев его существования и предельный переход под его знаком. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. Применение в теории вероятностей и квантовой механике.

дипломная работа , добавлен 20.07.2009

Cлайд 1

МКОУ «Большеатлымская средняя общеобразовательная школа» Тема: «Интеграл и его практическое применение» Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее. П. Л. Чебышев

Cлайд 2

Выполнил: Ершов Николай, ученик 11 класса. Руководитель: Дедовец Надежда Артемовна, учитель математики С. Большой Атлым 2012-2013 уч. год

Cлайд 3

Цель работы: Расширить область математических знаний. Развивать логическое мышление. Вывести общие формулы, позволяющие решать задачи интегрирования. Показать, что интеграл широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.

Cлайд 4

Задачи исследования: - собрать, изучить и систематизировать материал об интеграле; - рассмотреть, как интеграл используется при решении различных жизненных ситуаций; - использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности. Объект исследования: область математики – интегрирование.

Cлайд 5

Немного истории -1675 г, опубликовано в 1686 г ввел Г.Лейбниц - 1675 г, Ж Лагранж 5 век до н.э. др.гр. ученый Демокрит 3-4 век до н.э. Архимед ввел метод исчерпывания

Cлайд 6

Cлайд 7

«Интеграл» придумал Я.Бернулли (1690) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer

Cлайд 8

Cлайд 9

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) « Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.» Лейбниц

Cлайд 10

Cлайд 11

Cлайд 12

Площадь фигуры Объем тела вращения Работа электрического заряда Работа переменной силы Масса Перемещение Дифференциальное уравнение Давление Количество теплоты

Cлайд 13

Задача.Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. 2. (АВС) OX=a, a=0, (A1B1C1) OX=b, b=h 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. А2В2С2-треугольник, равный основаниям. Площадь А2В2С2 равна S. Ответ: V=Sh 4. S(x) непрерывна на

Cлайд 14

Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным? Решение: Пусть x(t) – количество бактерий в момент времени t. x(0) = x0. Изменение количества бактерий со временем описывается уравнением x´(t) = kx(t), k>0, ln|x| = kt+ln|C|, x=ekteln|C| , x=Cekt - общее решение уравнения. ЗАДАЧА

Cлайд 15

Уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения задач из различных областей наук. Недаром даже поэты воспевали интеграл. Смысл- там, где змеи интеграла Меж цифр и букв, меж d и f. Там – власть, там творческие горны! Пред волей чисел все – рабы. И солнца путь вершат, покорны Немым речам и ворожбы. В.Брюсов.

Cлайд 18

Заключение Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения, таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.