Скалярное вычитание векторов. Какой вектор называется суммой двух векторов

⁰

ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.

Обозначим точкой $A$ -- начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим

Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы:

а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

\[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]

б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\]

По теореме 2, имеем

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

\[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\]

Определение

Сложение векторов иосуществляется поправилу треугольника .

Суммой двух векторов иназывают такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец - с концомпри условии, что конец вектораи начало векторасовпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора ипривести к общему началу, то векторсовпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 2). Причем начало векторасовпадает с началом заданных векторов.

Определение

Вектор называетсяпротивоположным вектором к вектору , если онколлинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

Определение

Разностью векторов иназывается вектортакой, что выполняется условие:(рис. 3).

Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора на число называется вектор, удовлетворяющий условиям:

Свойства умножения вектора на число:

Здесь и- произвольные векторы,,- произвольные числа.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённымскалярным произведением , либо метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

Мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение(если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

Аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством .

Пример евклидова пространства - координатное пространство состоящее из всевозможныхn -ок вещественных чисел скалярное произведение в котором определяется формулой

Базис и координаты вектора

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) - множество таких векторов в векторном пространстве , что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов .

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

Базис Га́меля , в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).

Базис Ша́удера , в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно - разложение в ряды . Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства ,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат , равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Скалярное произведение.

операция над двумя векторами , результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами ], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x . Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

Векторное произведение

это псевдовектор , перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве . Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным ) и, в отличие от скалярного произведения векторов , является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов -скалярное произведение вектора навекторное произведение векторов и:

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр ).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда , образованного векторами .смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

Плоскость в пространстве

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Некоторые характеристические свойства плоскости

Плоскость - поверхность , содержащая полностью каждую прямую , соединяющую любые её точки ;

Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Аналогично отрезку и интервалу , плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.

Общее уравнение (полное) плоскости

где и- постоянные, причёмиодновременно не равны нулю; ввекторной форме:

где - радиус-вектор точки, векторперпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусы вектора :

Никто не будет спорить, что к месту назначения невозможно добраться не зная направления движения. В физике это понятие называется вектором . До этого момента мы с вами оперировали некоторыми числами и значениями, которые называются величинами. Вектор отличается от величины наличием направления.

При работе с вектором оперируют его направлением и величиной . Физический параметр без учета направления называют скаляром .

Визуально вектор отображают в виде стрелки. Длина стрелки - величина вектора.

В физике для обозначения векторов используют заглавную букву со стрелкой наверху.

Векторы можно сравнивать. Два вектора будут равны, если они имеют одинаковую величину и направление.

Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?

Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.

Вектор А - Киев-Москва
Вектор В - Москва-Львов
Вектор С - Киев-Львов

С = А+В , где С - сумма векторов или результирующий вектор

Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:

Вектор А = С-В
Вектор В = С-А

Наложим на наши вектора координатную сетку. Для вектора А можно сказать, что он направлен на 5 клеток вверх (положительное значение оси Y) и на 3 клетки влево (отрицательное значение оси Х): X=-3; Y=5.

Для вектора В: направление на 4 клетки влево и 7 клеток вниз: X=-4; Y=-7.

Т.о., для сложения векторов по осям X и Y надо сложить их координаты. Чтобы получить координаты результирующего вектора по осям X и Y:

Рассмотрим задачу: шар движется со скоростью 10м/с по наклонной плоскости с длиной основания X=1м, распложенной под 30° к горизонту. Требуется определить время, за которое шар переместится от начала к концу плоскости.

В данной задаче скорость является вектором V с величиной 10м/с и направлением α=30° к горизонтали. Чтобы определить скорость перемещения шара вдоль основания наклонной плоскости, нам надо определить X-составляющую перемещения шара, которая является скаляром (имеет только значение, но не направление) и обозначается V x . Аналогично, Y-составляющая скорости также скаляр и обозначается V y . Вектор скорости через составляющие: V = (V x ;V y)

Определим составляющие (V x ;V y). Вспоминаем тригонометрию:

V x = V·cosα
V y = V·sinα

Х-составляющая скорости шара:

V x = V·cosα = V·cos30° = 10,0·0,866 = 8,66 м/с

Горизонтальная скорость шара равна 8,66 м/с.

Т.к. длина основания наклонной плоскости равна 1м, то это расстояние шар преодолеет за:

1,00(м)/8,66(м/с) = 0,12 с

Т.о., шару потребуется 0,12с для перемещения вдоль наклонной плоскости. Ответ: 0,12с

Интереса ради определим Y-составляющую скорости:

V y = V·sinα = 10·1/2 = 5,0 м/с

Поскольку время "путешествия" шара одинаково для обеих составляющих, то можем определить высоту Y, с которой катился шар:

5,0(м/с)·0,12(с) = 0,6 м

Расстояние, пройденное шаром:

Обратная задача

Рассмотрим задачу, обратную предыдущей:

Шар переместился вдоль наклонной плоскости на высоту 0,6м, при этом в горизонтальной плоскости его перемещение составило 1,0м. Необходимо найти расстояние, пройденное шаром и угол.

Расстояние вычисляем по теореме Пифагора:

L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16м

По тригонометрии:

X = L·cosα; Y = L·sinα

X/L = cosα; Y/L = sinα

Теперь можно найти угол:

α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)

Подставляем цифры:

α = arccos(1/1,16) = 30°

Промежуточное вычисление L можно исключить:

Y = X·tgα

ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.

Теорема 2

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

\[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]

б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\]

По теореме 2, имеем

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

\[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\]

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ - два вектора (рис.1, а).

Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника ).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма ). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .

Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .

Решение

а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .

б) Так как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АС} \,\,\,\, то\,\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = |\overrightarrow{АС}| = АС$ .

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).

Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,\,\overrightarrow{b}\,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .

Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}|$ .

Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}| = а$ .

б) Так как $\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}| = а$ .

Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda < 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .

Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С - произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ - противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ - ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.