Что и как считали в древности. Исследовательская работа

⁰

Для записи чисел древние египтяне употребляли следующие иероглифы, означающие (последовательно): единица, десять, сто, тысяча, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек с поднятыми руками), десять миллионов. Полагают, что иероглиф для сотни изображает измерительную веревку, для тысячи - цветок лотоса, для 10 000 - поднятый кверху палец, а для 10000000-всю Вселенную. Все остальные числа составлялись из основных с помощью только одной операции - сложения.

При этом запись производилась не слева направо, как у нас, а справа налево. Число 15, например, записывалось так: А число 444 писали так: Мы видим, что древнеегипетская нумерация похожа на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание. Знакомясь с римской нумерацией, мы убедились, до чего неудобно умножать числа, записанные в непозиционной системе. Как же считали древние египтяне? Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел. Пусть, например, надо умножить 19 на 37. Египтяне последовательно удваивали число 37, причем в правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом - соответствующие степени двойки.

1 37 2 74 4 148 8 296 16 592 Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель (в нашем примере 19=1+2+16). Египтяне отмечали соответствующие строки вертикальными черточками и складывали те числа, которые стоят в этих же строках справа. В данном случае надо сложить 37+74+592=703. Так получали произведение,; Если теперь число 703 нужно было разделить на 19, то египтяне начинали последовательно удваивать делитель и продолжали это до тех пор, пока числа правого столбца оставались меньше 703. Затем из чисел правого столбца они пытались составить делимое, и тогда сумма соответствующих чисел в левом столбце давала делитель: В данном случае 703=608+76+19, т. е. частное будет 1+4+32=37. Если бы делимое не делилось без остатка на делитель, то его не удалось бы составить из чисел правого столбца. У нас получилось бы и частное и остаток.

Египетский способ умножения не труден, но он требует очень большого количества операций, даже при умножении двузначных чисел. Если бы пришлось перемножать таким же образом очень большие числа, мы не могли бы обойтись без помощи машины. Заметим также, что для умножения и деления египтяне пользовались фактически представлением числа по двоичной системе.

Алфавитные нумерации. Псаммит Мы видели, что непозиционные нумерации малоудобные: запись чисел в них очень длинна, арифметические операции производить трудно. По мере развития торговли и ремесла эти неудобства становились все чувствительнее, и вот в Малой Азии, где были древнегреческие колонии, которые вели оживленную торговлю, в серединеVв. до н. э. появилась система счисления нового типа, так называемая алфавитная нумерация. Ее обычно называют ионийской.

В этой системе числа обозначались при помощи. букв алфавита, над которыми ставились черточки: пер-’ вые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30 до 90 и следующие девять - числа 100, 200 до 900. Таким образом можно было обозначать любое число до 999.Для обозначения чисел 1000, 2000, …, 9000 греки употребляли те же буквы, что и для чисел 1, 2, …, 9, но только при их записи ставили косую черточку слева внизу.

Как это делалось, видно из прилагаемого рисунка. Далее, для числа 10 000 употреблялся знак - это число называлось мириадой, две мириады, т. е. 20000, обозначались так: . Этим способом можно было обозначить все числа до мириады мириад, т. е. до 108. Более высокие десятичные разряды уже не могли быть записаны в ионийской нумерации и не имели названия в древнегреческом языке. Великий математик, механик и инженер древности Архимед (III в. до н. э.) посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий прием наименования сколь угодно больших чисел.

В местах обитания первобытного человека археологи находят предметы с выбитыми точками, нацарапанными черточками, глубокими зарубками. Эти находки свидетельствуют о том, что уже в каменном веке люди умели не только считать, но и фиксировать («записывать») результаты своих подсчетов.
С развитием общества совершенствовался и счет. Ведь такие примитивные способы счета, как зарубки на плаке, узлы на веревке или камешки, сложенные в кучки, не могли удовлетворить потребности торговли и производства.

Приблизительно за 3000 лет до нашей эры было сделано важнейшее открытие: люд изобрели специальные знаки для обозначения некоторого количества предметов. Например, египтяне десяток обозначали символом , сотню - . Число 123 записывалось так: .

Такая форма записи, по сути, являлось прототипом современной десятичной системы счисления.

В Древнем Риме использовали другую, недесятичную, форму записи чисел:

I – один,
V – пять,
X – десять,
L – пятьдесят,
C – сто,
D – пятьсот,
M – тысяча.

Римская система счисления основывается на следующем принципе: если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: VI = 6, XXXII = 32; если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IV = 4, VL = 45.
Эта система сохранилась и до наших дней. Римские цифры встречаются на циферблатах часов, на памятниках архитектуры. Записи «XXI век», «Глава VI» хорошо нам знакомы.

Величайшим достижением человечества является современная десятичная позиционная система счисления. С помощью этой системы записывают сколь угодно большие числа, используя всего лишь десять различных цифр. Это возможна потому, что одна и так же цифра имеет различные значения в зависимости от её позиции в числе.

Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называют арабскими. Однако арабы лишь распространили систему изобретенную индусами.
Некоторые племена и народы использовали другие позиционные системы счисления. Например, индейцы племени майя использовали двадцатеричную система, а древний народ шумеры – шестидесятеричную.

Следы двадцатеричной системы можно обнаружить в некоторых европейских языках. Так, французы вместо «восемьдесят» говорят «четырежды двадцать» («quatre-vingts»). Разбиение одного часа на 60 минут, а одной минуты на 60 секунд – пример явного наследия шестидесятеричной системы.
Счет с помощью десяти пальцев рук привел к возникновению десятичной системы. Общее количество пальцев на руках и на ногах явилось основой для создания двадцатеричной системы. «Пальцевое» происхождение имеет и двадцатеричная система: попробуй большим пальцем руки сосчитать фаланги на других пальцах этой же руки, выйдет 12 (рис. 1). Так возник счет дюжинами.

И в наши дни в Европе дюжинами продают носовые платки, пуговицы, куриные яйца. Количество предметов в столовых приборах и сервизах (вилки, ножи, ложки тарелки, чашки, бокалы и т.п.), как правило, равно 6 (полудюжина), 12, 24 и.т.д.

Числа правят миром. Пифагор Реферат на тему: Как считали в древности Выполнила: ученица 5 «а» класса Мельникова Вероника

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: один и два. Туземцы считали так: 1 - «урапун» 2 - «окоза» 3 - «окоза - урапун» 4 - «окоза - окоза» 5 - «окоза - окоза - урапун». . . . . Все остальные числа - «МНОГО» ! Видно, что люди освоили только небольшое количество целых чисел. Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Жизнь людей постоянно менялась, росли их знания о мире. Для того чтобы запомнить количество животных, люди откладывали столько камней, сколько было овец. Тогда они могли выяснить, каков был приплод или сколько овец погибло при наводнении.

Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. д. Счетное устройство инков

В Древнем Китае и Японии вычисления производились на специальной счётной доске, по принципу использования аналогичной русским счетам. Аба́к - счетная доска, применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с 5 века до н.э. в Древней Греции, Древнем Риме. Китайские (вверху) и японские (внизу) счёты Абак

В Древнем Вавилоне цифры записывали с помощью клинописных знаков. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

В Древнем Риме считали пятерками, т.е. главным числом у них была цифра 5. Потом они тоже перешли к счету десятками, но в системе записи цифр пятерка все-таки осталась. Возможно, основу такой записи составил счет пальцами. Посмотрите внимательно на римскую цифру 5 - V: четыре пальца прижаты друг к другу, а один отведен в сторону. А римская цифра 10 - Х, две пятерки, составленные вместе углами.

В древности широко распространенными были системы, в которых числа обозначались буквами алфавита. К таковым относилась и греческая алфавитная система, называемая также ионической. К славянским племенам она пришла вместе с христианством и письменностью. Создана славянская нумерация была греческими монахами Кириллом и Мефодием в IX веке по образцу греческой.

Вместе с алфавитом такая система записи чисел пришла в Древнюю Русь. Но вместо черточки на Руси ставили волнистую линию - титло. -1 -2 -1000 -3000 -10000 - тьма -100000 - легион -1000000 - леодр

Эволюция индийских цифр

Cлайд 1

Cлайд 2

Первобытные народы считают Числа получают имена Операции над числами Древняя Греция Древний Рим Шумерская клинопись Древний Египет Вавилония Индия и Китай

Cлайд 3

Cлайд 4

Многие русские пословицы говорят о том, что так же дело обстояло и у наших предков: «У семи нянек дитя без глаза» «Семь бед - один ответ» «Семеро одного не ждут» «Семь раз отмерь, один раз отрежь» Туземцы Новой Гвинеи загибают один за другим пальцы руки, приговаривая «бе - бе - бе…». Досчитав до ПЯТИ, говорит «ибон - бе» (РУКА). Затем загибают пальцы другой руки «бе - бе..», пока не доходит до «ибон - али» (ДВЕ РУКИ). Для дальнейшего счёта используются пальцы ног, а затем…. Дальше Назад

Cлайд 5

Однако, у большинства народов числа, которыми считали «деньги» (а в качестве денег в основном служил скот), постепенно вытеснили все остальные. Они-то и стали теми универсальными числами, которые позволили считать любые предметы. Люди постепенно привыкали при счёте располагать предметы устойчивыми группами по два, по десять или по двенадцать. Но отдельных имён у чисел ещё не было.У туземцев Флориды слово «на-куа» означало 10 яиц, «на-банара» - 10 корзин, но слово «на», которое, казалось бы, соответствовало числу 10, отдельно не употреблялось. Дальше Назад

Cлайд 6

Так, индивидуальные названия получили числа меньше 10, а также десять, сто, тысяча. С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения. С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Говорили: собрали урожай "сам-двадцать", т. е. в двадцать раз больше собрали, чем посеяли. Наконец, когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления. Дальше Назад

Cлайд 7

В середине V в. до н.э. В Малой Азии, где были древнегреческие колонии, появилась система счисления нового типа - Её обычно называют ионийской. В этой системе числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки. Первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять 10, 20...90 и следующие девять-числа 100, 200..900. Так можно было обозначать любое число до 999.

Cлайд 8

Для тысяч употреблялись опять первые девять букв, но - с косой черточкой слева внизу. Для числа 10000 употреблялся знак М, Над знаком ставилось число, обозначающее количество мириад. Так можно было обозначить все числа до мириады мириад, т.е. 108. Великий математик, механик и инженер древности посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий приём наименования сколь угодно больших чисел.

Cлайд 9

Часто в сказках встречается «неразрешимая» задача:сосчитать, сколько звёзд на небе, капель в море или сколько песчинок на земле. Архимед показал, что такие задачи можно решать. Своё сочинение он так и назвал («Псаммит»). Чтобы решить поставленную задачу, Архимед все числа меньше мириады мириад объединяет в первую и называет их первыми числами. Вторые числа от 108 до 1016 …И далее можно наращивать разряды. Способ Архимеда близок к позиционному, прежде чем человечеству удалось создать десятичную позиционную систему счисления. Дальше Назад

Cлайд 10

В римской системе имеются специальные знаки для: I - 1 VI - 6 II - 2 VII - 7 III - 3 VIII - 8 IV - 4 IX - 9 V - 5 X - 10 L - 50 D - 500 C - 100 M -1000 Остальные числа записываются при помощи этих символов с применением сложения и вычитания. Число 444 запишется в римской системе так Эта форма записи менее удобна, чем та, которой мы пользуемся. Запись чисел получается намного длиннее. В римской системе есть и еще один существующий недостаток: она не дает способа для записи сколь угодно больших чисел. Дальше Назад

Cлайд 11

Вот принес земледелец выращенный им лук сборщику податей в деревне стран Шумер. "Сум!"- сказал сборщик, потому что "сум" по-шумерски значило «лук»- и нарисовал пучок лука на сырой глиняной табличке, которую держал в руке. Шумерские счетоводы годами рисовали рыб и птиц, скот и растения. Четкие плавные линии требовали много труда, да и все равно они плохо сохраняли свою форму. Потом все знаки стали чертить на глине так, что они оказались повернутыми набок. Почему так получилось? Дело в том, что сначала писали на глине столбцами сверху вниз и каждый следующий столбец начинали левее предыдущего. Но при этом рукой смазывали то, что было написано перед этим. Поэтому плитку стали поворачивать на четверть оборота и стали писать те же самые знаки строчками, слева направо (и каждую следующую строку начинали ниже предыдущей).

Cлайд 12

Перевёрнутые птицы и животные оказывались ни на что не похожи. Это-то и привело счетоводов к любопытному открытию. Они поняли, что вовсе ни к чему делать похожие рисунки. На этом перемены не кончились. Избавились и от извилистых линий, а просто вдавливали стиль в глину и сразу отнимали его. На глине оставались четкие клинообразные следы. Это так и называется - КЛИНОПИСЬ.

Cлайд 13

"А для низкой жизни были числа, Как домашний подъяремный скот, Потому что все оттенки смысла Умное число передает". Дальше Назад

Cлайд 14

Это одна из древнейших нумераций. Надписи египтян состоят из картинок - иероглифов. Сохранились два математических папируса, позволяющие судить о том, как считали древние египтяне. Полагают, что иероглиф для сотни изображает измерительную верёвку, для тысячи -цветок лотоса,

Cлайд 15

Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел - фактически представлением числа для десяти тысяч - поднятый кверху палец, сто тысяч - лягушку, миллион - человек с поднятыми руками, десять миллионов - вся Вселенная. Дальше Назад

Cлайд 16

Первой известной известной нам позиционной системой счисления была Вавилоняне поступали так: записывали все числа от 1 до 59 по десятичной системе, применяя принцип сложения. При этом они пользовались всегда двумя знаками: прямым клином для обозначения 1 и лежачим клином для 10. Эти знаки и служили цифрами в их системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1, т.е. . вавилонян, возникшая примерно 2500 - 2000 лет до н.э. Основанием ее служило число 60.

1. СЧЁТ В ГЛУБОКОЙ ДРЕВНОСТИ (ДО ИЗОБРЕТЕНИЯ БУКВ)

На древних гробницах, на развалинах старых храмов находим иногда странные, причудливые письмена. Учёные сумели их прочесть и узнали, как жили люди четыре-пять тысяч лет тому назад. Из этих надписей видно, что и тогда, тысячи лет тому назад, наши предки считали неплохо. Но как считали они ещё раньше, когда не умели писать? Об этом мы можем только догадываться. Три пути ведут нас в глубь веков и помогают разгадать эту загадку.

Первый путь – изучение языка, народных преданий, песен. В языке сохранилось много следов глубочайшей древности, следов тех времён, когда люди писать ещё не умели. Специалисты по изучению языка (их называют филологами) помогли восстановить картину жизни наших отдалённых предков.

Второй путь – наблюдение над детьми, когда они учатся говорить и считать. Каждый ребёнок уже с первых месяцев своей жизни как бы повторяет развитие всего человечества. Конечно, это «повторение» проходит очень быстро: тот путь развития, на который человечеству нужны были тысячи веков, ребёнок проходит за годы и даже за месяцы. Но всё же, изучая развитие детей, можно получить некоторые указания на то, как люди овладевали счётом.

Третий путь – изучение первобытных народов. В некоторых местах земного шара, в отдалённых колониях,– в Африке, в центральной части Южной Америки, на некоторых островах,– сохранились племена, стоящие на очень низкой ступени развития; они сейчас примерно такие, какими наши предки были пять или десять тысяч лет тому назад. Капиталистические хозяева этих колоний не заинтересованы в том, чтобы поднимать их культурный уровень. Поэтому кое-где до сих пор сохранился первобытный уклад жизни. Изучение таких племён, их языка, их искусства позволило выяснить много тёмных мест нашей собственной древнейшей истории и помогло нам узнать, как считали в старину.

Сопоставляя сведения, полученные из этих трёх источников, мы можем приблизительно восстановить картину того, как наши предки считали до изобретения письменности.

В те отдалённые времена, когда люди едва научились говорить и пользоваться огнём, они знали только два числа: один и два. Если пересчитываемых предметов было больше двух, то люди говорили просто «много». «Много» было звёзд на небе, но и пальцев на руке было тоже «много». Известны и сейчас целые племена, для которых счёт до трёх представляет трудную работу. В развитии каждого ребёнка тоже ясно виден промежуток времени (разный у различных детей), когда он понимает, что такое «один» и «два», но сосчитать до трёх не может. Это показывает, что «один» и «два» возникли значительно раньше всех остальных чисел, то-есть что было время, когда считать умели только до двух.

Постепенно к первым двум числам/прибавлялись новые и новые. Люди научились считать до пяти и соединять два «пятка» в десяток. Этому помогла та счётная машина, которой наделила человека сама природа: его две руки с десятью пальцами.

Числа «пять» и «десять» сыграли огромную роль в истории развития счёта. На это имеется много указаний.

В языках большинства древних народов названия чисел первого десятка совпадают с названиями пальцев рук. Даже языки народов, живущих теперь, сохранили следы этого явления: например, в современном итальянском языке слово le dita («ле дита») означает и «числа до десяти» и «пальцы». Выражение «перечесть по пальцам», сохранившееся в нашем языке, показывает, что у наших предков счёт был неразрывно связан с пальцами. Наконец, наша современная десятичная система счисления (о ней будет подробно рассказано дальше) служит доказательством того, какое важное значение имело число «десять» в развитии искусства счёта.

Мы сказали, что люди сначала считали «пятками», а уже потом научились соединять пятки в пары и считать десятками. На это указывает любопытное счётное приспособление, дожившее до наших дней, а именно – китайские счёты. Их устройство ясно из приложенного рисунка (рис. 1).

Человеческая община развивалась, возникли земледелие, скотоводство, простейшие ремёсла. Вместе с ними появились простейшие формы учёта. От этих времён остались письменные памятники, и мы уже не догадываемся, а точно знаем, как тогда считали наши предки.

На заре письменности букв не существовало. Каждая вещь, каждое действие изображались картинкой. Постепенно картинки упрощались, но число их увеличивалось: особые значки изображали не только предметы и действия, но и качества предметов и другие отдельные слова. Все эти значки отличались от наших букв тем, что они были очень сложны (каждый из них был целым рисунком, хотя и очень упрощённым), и обозначали они не отдельные звуки, а целые слова. Такие значки называют иероглифами.

Письменность при помощи иероглифов существует не менее пяти тысяч лет. На рисунке 2 мы видим иероглифы, изображённые на древнейших египетских постройках. Специальных знаков (цифр) для записи чисел тогда не было; но слова «один», «пять», «двадцать» и другие числительные изображались определёнными иероглифами, как и прочие слова. Таких числовых иероглифов было сравнительно немного, потому что считали в то время не более, чем до сотни, в редких случаях – до тысячи.

В некоторых странах писание иероглифами сохранилось и до наших дней. В Китае и Японии, например, и теперь, наряду с современными буквами, употребляются иероглифы. На рисунке 3 изображены китайские и японские почтовые марки, на которых рядом с обычными цифрами и латинскими буквами видны странные причудливые закорючки; это – иероглифы.

Вот какой вид имеют японские иероглифы, изображающие числа:

Ещё более замысловаты китайские иероглифы:

Иероглифы древних египтян показывают, что искусство счёта стояло у них на большой высоте. Три с половиной тысячи лет тому назад египтяне знали и целые числа и дробные. От тех времён сохранились и календарные расчёты, и хозяйственные документы, и специальные сборники арифметических задач, которые служили пособием при обучении счёту. Но с большими числами в египетских памятниках мы не встречаемся. Слишком уж неудобны были иероглифы для их записи, слишком много разных иероглифов пришлось бы запоминать. Для дальнейшего усовершенствования искусства счёта нужно было одно из двух – или перейти к более удобному письму, т. е. перейти от иероглифов к буквам, или же изобрести какой-то новый приём, облегчающий запись чисел специальными значками. Одни народы пошли по первому пути, другие – по второму.